大学物理20相对论习题解答

《狭义相对论》习题解答20.1填空(1)长度收缩公式22/1'cvLL−=成立的条件是。解：'L必须是固有长度（本征长度）。(2)时钟变慢公式22/1'cvtt−∆=∆成立的条件是。解：'t∆必须是固有（本征）时间。(3)实验测得某粒子静止时的平均寿命是τ，它以很低的速度v运动时的平均飞行距离为τv。但若v接近光速，实验测得，绝大多数粒子的飞行距离远大于τv，这个实验结果说明。解：说明了高速运动中的时间膨胀效应。(4)对某观察者来说，发生在同一地点、同一时刻的两个事件，对其他一切观察者来说，它们是发生的(回答“同时”或“不同时”)。有两事件，在S惯性系发生于同一时刻、不同的地点，它们在其它惯性系S′中发生(回答“同时”，“不一定同时”或“不同时”)。解：由同时性的相对性应该回答“不一定同时”。(5)从S′系的坐标原点O′沿X′正向发射一光波，已知S′系相对于S系以0.8c沿X负方向运动，则S系中测得此光波的速度为。解：光速不变，仍然是c。(6)在速度v=情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。解：当粒子以速度v运动时，相对论动量为：vmmv0γ=，若等于非相对论动量的两倍，则有：vmvm002=γ，即2=γ，所以cv866.0=。(7)在速度v=情况下粒子的动能等于它的静能。解：在动能等于静能的情况下，有202022cmcmEmck=+=所以，2=γ，故有，cv866.0=。20.2选择正确答案[](1)迈克尔逊–莫雷在1887年做的实验是最著名的，这个实验：(A)证明了以太不存在；(B)观察不到地球相对于以太运动；(C)表明了以太过于稀薄，以致观察不出来；(D)证明了狭义相对论是正确的。（2）根据相对论力学，动能0.25MeV的电子(电子静能为0.51MeV)，其运动速度约等于(A)0.1c；(B)0.5c；(C)0.75c；(D)0.85c。（3）一电子的运动速度cv99.0=，它的动能是(A)3.5MeV；(B)4.0MeV；(C)3.1MeV；(D)2.5MeV。解：略。20.3判断下列叙述是否正确。正确的，在后面的括号画“√”，错误的画“×”。(1)若子弹飞出枪口的事件为A，子弹打中靶为事件为B，则在任何运动着的参照系中测量a、子弹飞行的距离都小于地面观察者测出的距离，[]b、事件A总是早于事件B。[](2)2mcE=这个公式说明物体的质量和能量可以相互转化；[](3)某一星作远离地球的相对运动，其光谱线比它相对地球静止时的光谱线要向紫端移动。[]解：略。20.4观察者甲和乙分别静止在两个惯性系S和S’′中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s，而乙测得这两个事件的时间间隔中为5s。求：(1)S’′相对于S的运动速度；(2)乙测得这两个事件发生地之间的距离。解：（1）同一地点发生的两个事件的时间间隔是本征时间，等于4s，而膨胀后时间是5s。由时间膨胀公式可得25.1=γ，v=0.6c。（2）乙测得两事件发生地的距离为：81095×==vl20.5在S惯性系中观测到相距m1098×=∆x的两地点相隔s5=∆t发生两事件，而在相对于S系沿x方向以匀速运动的S’′系中发现该两事件发生在同一地点。试求S’′系中该两事件的时间间隔。解：在S’′系中看是发生在同一地点的两事件，其时间间隔是本征时间，所以，γ/'tt∆=∆而25.1,6.0==∆∆=γctxv，所以：st4'=∆。20.6火箭相对地面以cv6.0=匀速向上飞离地球。在火箭上记录发射s10=′∆t后，该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为cv3.01=，问地上记录火箭发射后多长时间导弹到达地球？解：火箭上记录的10s时间在地面上看，为s5.1210=γ，火箭飞行的高度为sc5.126.0×，再以0.3c的速度落向地面（忽略重力），需要的时间为scsc253.05.126.0=×，所以总时间为37.5s。20.7π介子静止时的半衰期为s1077.18−×=T，当它们以速度cv99.0=从加速器中射出时，问经过多远的距离其强度减少一半？解：当π介子运动时，其半衰期变为2899.0111077.1−×=−Tγ，在半衰期内飞行距离为mc3999.099.0111077.128=×−×−，此时强度减少一半。20.8π介子的平均寿命是s106.28−×。如果这种粒子具有速度0.8c，那么，在实验室测量的平均寿命为多少？衰变前飞行多远？解：s106.28−×可以看成是本征时间，在实验室中的平均寿命是膨胀后的时间，所以由时间膨胀公式，s106.2610'8−××=∆=∆ttγ飞行距离为：mtvl4.100.8c106.26108=×××=∆=−。20.9一米尺相对于你以cv6.0=的速度平行于尺长方向运动，你测得该米尺为多少？米尺通过你得花少时间？解：由长度收缩公式可得运动米尺长度为：mLL8.025.1/1/'===γ0.8m的运动米尺以0.6c的速度通过所需要的时间为：s10444.06.08.08−×=c20.10一列车以速度v通过站台，在站台上两个相距1米的机械手同时在列车车厢上刻上划痕。试求列车上的观察者测量这两个划痕的距离是多少？解：在地面参照系理解，划痕收缩后的距离是1米，因而，列车上看到的划痕是没有收缩的，由长度收缩公式可得：22/111'cvL−=×=γ。20.11惯性系中的观察者A测得与他相对静止的xoy平面上一个圆的面积是12cm2，另一观察者B以cu8.0=相对于A平行xoy一面作匀速直线运动，问B测得该图形的面积是多少？解：由于长度收缩只发生在运动方向，运动面积为：22.7/12cm=γ。20.12设S′系相对于惯性系S以匀速u沿x轴运动，一静止在S系中的米尺分别(1)沿x轴；(2)垂直x轴；(3)与x轴成θ角放置。求S′系中观察者测得的米尺长度。解：（1）此时在S’系看来，发生长度收缩，所以长度为：22/1/1'cuL−==γ。（2）此方向与运动方向垂直，没有长度收缩，故长度仍为1。（3）此时只有在x轴方向的投影发生收缩，y方向投影不变，即：θθγsin'/1cos/'22==−⋅==yycuxx长度为：22222/cos1''cuyxθ−=+。20.13S′系中的一个观察者在间隔为100=′L光分的A′，B′二点的联线中点c′处。他使灯发出闪光，并当闪光灯发出的闪光到达A′，B′时，让置于二处的时钟从零开始走动。S′系向右运动，相对于S系的观察者的速度为0.6c。当闪光灯发出闪光时，观察者在A′和B′连线中点之相应点C处(在S系中)，同时使他的时钟指到零点。(1)照S系的观察者看来，时钟A′和B′之间的距离是多少？(2)当从闪光灯发出的光脉冲向A′和B′传播并到达A′时，S系在该处的时钟之读数是多少？(3)当闪光到达B′时，S系在该处的时钟之读数是多少？（4）S系测得A′处的时钟比B′处的时钟超前多少？解：（1）由长度收缩公式可得：8025.1/100/'===γLL光分。（2）在S系看来，光传播的距离是40光分减去A’的运动距离，即：tctcc∆=∆−6.040所以25=∆t分。此即是该处时钟的度数。（3）在S系看来，光传播的距离是40光分加上B’的运动距离，即：tctcc∆=∆+6.040所以100=∆t分。此即是该处时钟的度数。（4）75分。20.14两只固有长度均为100m的宇宙飞船A、B沿相反方向擦过，位于A前端的宇航员测得B经过他的时间为s1050.26−×，试问：(1)A、B间的相对速度是多少？(2)在A上测量时，B上一定点从A的前端飞到后端的时间是多少？解：（1）在A上的宇航员看来B的长度已经收缩为γγ/100/'=L，设相对速度为v，则通过时间为：sv6105.2)/(100−×=γ，解之可得：v=3.96×107m/s。（2）在A上的宇航员看来A自身的长度仍为100m，所以B上一点从A的头部到尾部的时间为100/v＝2.525×10-8s。20.15一发射台和东西两侧距离均为0L的两个接收站E和W发射讯号，今有一飞机以匀速v沿发射台与两接收站的联线由西向东飞行，试问在飞机上测得两接收站接收到发射台同一讯号的时间间隔是多少？哪一个站先收到？解：在地面上看接收站E和W同时接收到信号是异地同时事件，在飞机上看是不同时的，由洛伦兹差值变换我们有：22202/12'cvcvLxcvt−=∆=∆γ。由于飞机是由西向东运动，所以是E先。20.16在S惯性系中，相距m1056×=∆x的两个地方发生两事件，时间间隔s102−=∆t，而在相对于S系沿x轴正方向匀速运动的S′系中观测到这两个事件却是同时发生的。试求在S′系中发生这两事件的地点间的距离x′∆是多少？解：由洛伦兹差值变换，若S’系中两事件是同时发生的，则可以得到：0)('2=∆−∆=∆xcvttγ，即：v=0.6c，25.1=γ。又由：mtvxx4000000)('=∆−∆=∆γ。20.17假定在地面上相距3000km的A、B两地各自生下一个婴儿，地上记录A地婴儿比B地婴儿早出生s100.63−×。现有一宇宙飞船沿从A到B的方向从上空飞过，已知飞船速度分别为c8.0，问飞船中的宇航员测出哪一个婴儿早出生？早生多长时间？解：由洛伦兹时间差变换可得结果：sxcvtt0033.0)('2=∆−∆=∆γ，B先。20.18已知光在折射率为n的水中传播时，相对于水的光速为nc/，设水管中水的流速为v，问光在管中的传播速度是多少？解：水作为一个参照系，管作为另一个参照系。由速度变换可得cvnnvccvncvnccuvvuc//)/(1//1'22++=++=++=。20.19一观察者看到两导弹同向飞行，速度分别为c9.0和c7.0，求两导弹的相对速度。若两导弹反向飞行，相对速度又是多少？解：由速度变换（x方向），一个导弹作为S’系，另一个作为研究对象，则ccuvvuu54.0/1'2±=−−=，若是反向飞行，则：ccuvvuu981.0/1'2=−−=。注意速度的正负关系！！20.20一粒子速度0.9c沿K’’系的正X’’方向运动。K’’相对于K’系以0.9c沿正X’方向运动。K’相对于K系以0.9c沿正X方向运动。(1)求出该粒子相对于K′系之速度，(2)求出该粒子相对于K系的速度。解：由速度变换可得：（1）ccvuvuu994.0/''1'''2=++=（2）ccvuvuu9997.0/'1'2=++=20.21一束光在S′系里以速度c沿y′轴正向运动，而S′系以速度v相对于S系沿X轴正向运动。(1)求出光速在S系里的X分量和Y分量。(2)证明在S系里光速之值仍为c。(3)求光在S系中传播的方向。解：由速度变换：（1）vcvuvuuxxx=++=2/'1'γγccvuuuxyy=+=)/'1('2（2）在S系中光的速度值：ccvuuuyx=+=+=22222/γ（3）传播方向与x轴的夹角的正切值为：22/1tancvcvuuyx−==θ。20.22两艘宇宙飞船相互靠近(1)若每艘飞般相对于地球之速度为0.6c，那么一艘飞船相对于另一艘之速度各为多少？(2)若每艘飞船相对于地球之速度为m/s1034×(约为声速的100倍)，那么，一艘飞船相对于另一艘的速度为多少？解：（1）此时速度大应该考虑相对论效应，由洛伦兹速度变换公式可得：ccvuvuuxxx882.0/'1'2=++=。（2）此时可以不考虑相对论效应，所以相对速度为m/s1064×。20.23你必须朝着发出红光(nm650=λ)的光源运动得多快，才能使其显示为绿色(nm525=λ)？解：由光的多普勒效应：vcvc−+=0νν可知，vcvc+−=0λλ，整理并代入数值可得ccv21.0/1/1202202=+−=λλλλ。20.24一遥远星系背离地球运动着，以致于使每种波长的辐射都按z的比列发生频移，即有λλz=′。那么，该星系相对于地球的速度大小是多少？解：由上题结论可得czzcv11/1/122202202+−=+−−=λλλλ。20.25一长方体静止时的边长分别为x、y和z，质量为0m。一观察者沿平行其x边的方