第7讲-一次函数的应用

数学教研组编写八年级寒假人教版课件第七讲一次函数的应用解读一分段函数1．分段函数产生的条件：在实际问题中，两个变量所依附的函数解析式，有时会随着自变量取值的变化而有所不同．2．分段函数的书写要求分段函数在不同的自变量取值范围内对应的解析式不同，在书写解析式时要标注对应的自变量取值范围．例如，y＝0.50100.7410xxxx≤≤，，＞．注意分段函数反映在函数解析式方面，每一段都有函数解析式，前后两段函数解析式不同；分段函数反映在函数图象上，图象有分段点．分段点前后图象不是同一发展趋势，有的分段点既是上一段函数图象的“终点”，也是下一段函数图象的“起点”．【例1】某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(单位：千瓦时)与应付电费(单位：元)的关系如图所示,根据图象分别求出当0＜x＜50和x＞50时，y与x的函数解析式．2525707550100x/千瓦时Oy/元【答案】根据图象，知当0＜x＜50时，函数是正比例函数，可设解析式为y＝kx(k≠0)，将点(50，25)代入解析式，得25－k×50，解得k＝0.5．所以y＝0.5x．当x＞50时，函数是一次函数，可设解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将点(50，25)，(100，70)代人解析式，得502510070abab＝＝，解得0.920ab＝，＝．所以y＝0.9x－20．所以当0≤x≤50时，函数解析式为y＝0.5x，当x＞50时，函数解析式为y＝0.9x－20，即y＝0.50500.92050xxxx，，＞．【变1】某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金,某栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y(单位：件)与销售价x(单位：元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示,该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元(不包含债务)．（1）求日销售量y(单位：件)与销售价x(单位：元/件)之间的函数解析式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡(收入＝支出)，求该店员工的人数．244060715811x/(元/件)Oy/件【答案】（1）当40＜x＜58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，由图象得222258247111kbkb＝，＝，解得112140kb＝，＝．所以y＝－2x＋140．当58＜x＜71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x＋b2(k1≠0)，由图象得222258247122kbkb＝，＝，解得22182kb＝，＝．所以y＝－x＋82．综上所述，y＝214040582825871xxxx，，，＜．（2）设该店员工的人数为a．当x＝48时，y＝－2×48＋140＝44(件)，所以(48－40)×44＝106＋82a，解得a＝3．故该店有3名员工．解读二最大利润问题求最大利润的步骤：第1步：建立数学模型；第2步：确定函数解析式；第3步：确定自变量的取值范围；第4步：求出最值．【例2】某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：手机品牌甲乙进价/(元/部)40002500售价/(元/部)43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．[毛利润＝(售价－进价)×销售量]（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润．【答案】（1）设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部．由题意，得0.40.2415.50.030.052.1xyxy＝，＝，解得2030xy＝，＝．所以该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部．（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部．由题意，得0.4(20－a)＋0.25(30＋2a)≤16，解得a≤5，所以0＜a≤5，且a是整数．设全部销售后获得的毛利润为W万元．由题意，得W＝0.03(20－a)＋0.05(30＋2a)＝0.07a＋2.1．因为0.07＞0，所以W随a的增大而增大，所以当a＝5时，W最大＝2.45(万元)．所以当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润为2.45万元．【变2】某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示，该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，当购进甲种水果______千克时利润最大．进价/(元/千克)售价/(元/千克)甲种58乙种913【答案】35．解读三合理决策问题1．合理决策问题的关键取决于临界状态的确定，多种方案都会有各自的优势范围，在自己的优势范围中，这种方案就会是最佳方案，而多数情况各方案的优势范围是相互影响的．所以我们确定优势范围的方式是列出各方案的解析式，然后按要求列方程或者不等式求解．2．应用一次函数的性质选择最佳方案的一般步骤：建模列式选择从数学的角度分析实际问题，建立函数模型(往往有两个或者两个以上模型)结合实际需求，选择最佳方案列出不等式或者方程，求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系【例3】某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品质量超过3克，则超出部分可打八折出售．（1）分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y(单位：元)和质量x(单位：克)之间的函数解析式；（2）李阿姨要买一条质量不小于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店买合算？【答案】（1）y甲＝477x(x＞0)．当0＜x≤3时，y乙＝530x；当x＞3时，y乙＝530×3＋530×(x－3)×80%＝424x＋318．所以y乙＝530034243183xxxx＜≤＞（2）根据题目条件，知此时y乙＝424x＋318．由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318，解得x＝6．由y甲＞y乙，得477x＞424x＋318，解得x＞6．由y甲＜y乙，得477x＜424x＋318，解得x＜6．即不足6克时到甲店买合算，6克时到两家买都一样，超过6克时到乙店买合算．【变3】某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折(按标价的90％)销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(单位：元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(单位：元)．请解答下列问题：（1）分别写出yA，yB与x之间的解析式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．【答案】（1）由题意，得yA＝(10×30＋10x×3)×0.9＝27x＋270，yB＝10×30＋10(x－2)×3＝30x＋240．（2）当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10．所以当2≤x＜10时，在B超市购买更划算；当x＝10时，两家超市一样划算；当x＞10时，在A超市购买更划算．（3）由题意，知没限制只在一家超市购买，所以既可以只在一家购买，也可以在两家混合购买，因此分两种情况讨论：①若只在一家购买：因为x＝15＞10，所以选择在A超市购买划算，费用为27×15＋270＝675(元)；②若在两家混合购买：可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130(个)，则共需费用10×30＋130×3×0.9＝651(元)．因为651＜675，所以最省钱的方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，再在A超市购买130个羽毛球．解读四图表信息问题图表类信息题需要我们先理解清楚各个数据、折线、表格、图样等表示的具体含义，理顺题目中隐性、显性给出的等量关系，将图表中的信息代入进等量关系中去．【例4】甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时)．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲(千米)、y乙(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了________小时；（2）求线段EF所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距灾区的路程是多少千米？ABCDEF1.2548034.9甲67乙(小时)(千米)7.25O【答案】解：（1）观察图象知：点A的横坐标为3，点B的横坐标为4.9，故甲组在途中停留了4.9－3＝1.9小时，故答案为：1.9；（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx＋b，∵点E(1.25，0)、点F(7.25，480)均在直线EF上，∴1.2507.25480kbkb＋＋，解得80100kb，∴直线EF的解析式是y乙＝80x－100；（3）∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，∴点C的纵坐标为80×6－100＝380；∴点C的坐标是(6，380)；设直线BD的解析式为y甲＝mx＋n；∵点C(6，380)、点D(7，480)在直线BD上，∴63807480mnmn＋＋；解得100220mn；∴BD的解析式是y甲＝100x－220；∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B(4.9，270)，∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．【变4】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．土特产种类甲乙丙每辆汽车的运载量/吨865每吨土特产获利/百元121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数解析式．（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？请写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种方案？请求出最大利润．【答案】解：（1）∵8x＋6y＋5(20－x－y)＝120，∴y＝20－3x．∴y与x之间的函数关系式为y＝20－3x．（2）由x≥3，y＝20－3x≥3，即20－3x≥3可得3≤x≤523，又∵x为正整数，∴x＝3，4，5．故车辆的安排有三种方案，即：方案一：甲种3辆、乙种11辆、丙种6辆；方案二：甲种4辆、乙种8辆、丙种8辆；方案三：甲种5辆、乙种5辆、丙种10辆．（3）设此次销售利润为W百元，W＝8x•12＋6(20－3x)•16＋5[20－x－(20－3x)]•10＝－92x＋1920．∵W随x的增大而减小，又x＝3，4，5∴当x＝3时，W最大＝1644(百元)＝16.44万元．答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元．【变5】甲，乙两辆汽车先后从A地出发到B地，甲车出发1小时后，乙车才出发，如图所示的l1和l2表示甲、乙