SARS的传播模型

欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心陈猛田川陈丹妮指导教师：谭欣欣等SARS的传播模型摘要SARS作为21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，使中国乃至全球的经济受到影响，人类的生命受到威胁。在这场与SARS的战斗中，中国政府带领中国人民坚决有力的抗击了SARS。为了从经验和教训中总结SARS的传播特性，有效的预防和控制疫情，本文从SARS的传播特征出发，建立了基本的SEIR微分方程模型，并运用最小二乘法，借助计算机采用北京、香港的真实数据进行拟合，得出了能够反映SARS传播规律的曲线，证明了模型算法的正确性和有效性。该模型对疫情的预测有一定实用价值，借助模型预测能减少损失。另外以系统动力学为基础，通过计算机模拟，定性的分析了影响疫情扩散的主要因素，分析了医疗卫生部门采取的措施对SARS疫情的影响情况，以帮助相关部门对各种措施加以调整。本文说明了SARS对经济的影响，并以受到创伤最大的旅游业为例，建立了线性回归和指数模型，利用模型评估了SARS对旅游业的影响，做出了对未来经济的预测。最后，本文给出了一篇短文，说明了建立传染病模型的重要性。SARS的传播模型一．问题重述SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的暴发和蔓延给我国的经济和发展带来了很大影响，我们从得到的经验和教训中认识到定量的研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。题目中附件1对北京SARS疫情的走势作了预测分析：在XXX老师对北京疫情分析的基础上，加入每个病人可以传染他人的期限，通过在不同阶段社会条件下传染概率的变化，先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，然后初步预测北京的疫情走势。建立SARS的传播数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、合理假设1、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。2、国家卫生部提供的全国疫情统计真实可靠。3、将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。4、根据目前的医学调查资料，SARS康复者尚未有复发情况，因为对于一个SARS康复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS传染源；从社会心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，我们可以假设一个SARS康复者二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)，他们已经退出传染体系，因此将他们统称为移除者。5、由于SARS的传播时间不是很长(相比于传统的传染病,比如天花,麻疹等)，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由SARS引起的死亡人数,也将其归为移除者。6、被隔离者的人不再具有传染性。三、符号约定α：单位时间内每个易感者与病人的接触率。β：单位时间内处于潜伏期的病人的发病率。γ：染病者的恢复率（治愈率与死亡率之和）。四、问题的分析与求解（1）原题附件1提供的模型tktNN)1()(0+=(tL)……(1)是假定有一个初始爆发时间，最初有N0个病人突然发现，在L天之内（tL）则N(t-L)=0。欢迎光临中国数学建模网―――天之后，一部分病人已不具备传染力，最为方程1的解，发病人数则为])1()()1[()(10−−+−−+=LttKKLtktNN(Lt2L)……(2))()1()(0LtNktNtN−−+=(2Lt3L)……(3)并按此往后类推。这也就是附件1结果的公式化。可以看出，该模型是十分简单，计算也非常简单，是对SARS传染病的初步研究。而且该模型做了一些简化的假设和近似,是一个宏观的平均性质的模型，没有考虑微观个体的作用。但是抓住了主要的因素，采用数据模型用于定性分析SARS的一些主要特征，并且使用的数据可靠，可以对SARS的传播做出大致的估计，提醒人们做出必要的预防和控制，该模型所给出的分析在定性方面具有一定的实用性，在短期内有一定的预测价值。但该模型由于要求初始时刻的病例数，但是该参数很难确定，且传染期限也不确定；再者采用半模拟循环法也不精确，人群可分为易感者、潜伏者、感染者、移除者四种，并且周围环境的改变，人们对SARS病毒的认识以及所采取的预防措施等对模型的建立也会有很大的影响，促使长期预测不准确。（2）要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型：1、必须有充足的数据支持，且数据要可靠准确。比如病毒的传播感染规律、潜伏时间等等。2、SARS流行病的病理特性。如：传播途径；感染期限；各种预防措施对SARS是否有实际的预防作用及具体影响强度；各种个人习惯和社会习俗及特定的某些行为是否会对SARS起一些作用等等。3、在实际中，每个城市、国家有不同的地理、人为环境，他们对SARS做出的具体预防、控制措施也不同，这些都要反映到模型中。4、由于所谓的“超级传染事件”的存在，增加了疫情发展的不确定性，在模型中也要考虑。因此影响建模的因素方方面面。（3）对SARS传播做出一个数学上的定量分析是很有必要的，但是在SARS传播过程中有很多影响因素，有人们已经从实际中摸索发现的因素，比如：对传染源隔离，对易感人群进行关于SARS预防措施的宣传，加强SARS监测手段等等。也有很多人们尚不清楚的因素，比如：传染期限L,恢复后的人群是否终身免疫，社会的一些习俗是否会有影响。有的因素与客观的病程相关，人为不能改变。比如：病人潜伏期和痊愈后，现在认为没有感染性，发病后3-5天感染性最强，病人作切管手术时，感染性极强等，有的因素与人口分布特征有关。例如易感人群数：人群分布有居民区、学校、工地、农村等不同类型，各自感染情况不一样。这些情况错综复杂，相互关联，要把这些已知或未知，客观或主观的因素产生的影响都分别考虑到模型中，非常复杂，而且数据的采集也很困难，数据可能不精确。我们在附件一的基础上再加进去一部分的考虑，把人群分为四类即四种状态，考虑了人群的感染率、转化率、恢复率，改进模型以使模型更好地反映实际情况。五．模型的建立（一）根据SARS流行病的特点可以将人群分为易感者(susceptible)，潜伏者(exposed)，感染者(infectious)，移除者(removed)四类。各类t时刻人数分别用S(t),E(t),I(t),R(t)表示，用N(t)表示t时刻人口总规模。根据流行病感染过程，易欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心感者受到感染后先变为潜伏者，潜伏者发病后变为感染者，感染者转变为移除者（包括被治愈者和死亡者）。如图一表示：RIES→→→图（一）若只考虑SARS死亡、康复的人，而不考虑人的自然死亡与死亡人数，则S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N(常数)………(4)由此得到SARS流行病动力学的SEIR模型为：SIdtdSα−=ESIdtdEβα−=IEdtdIγβ−=………(5IdtdRγ=0=+++dtdRdtdIdtdEdtdSS+E+I+R=N其中初值S(0)=S00,I(0)0,E(0)0,R(0)0,],0[Tt∈,T为流行病的流行时间。通过对北京地区的拟合，我们得出α=0.1594736，β=0.363379、=γ0.0261028通过对香港地区的拟合，我们得出α=0.2102974，β=0.213600、=γ0.0411572拟合图形如下图(二)到图(七)所示:欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心图(二)图(三)欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心图(四)图(五)欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心图(六)图(七)由以上各图可以看出，模型对香港地区的拟合非常好，但是对于北京地区，由于该地区人员混杂，统计不准确，人员流动频繁，数据有较大的波动，造成拟合的效果不是非常好，但是总的趋势是准确的，证明模型还是正确有效的。欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心通过对曲线的拟合，发现各地SARS传染有其自身的规律性，利用现有的数据求出各个参数，以此对以后SARS的发展趋势做出评估，为各级主管部门制定预防SARS方案提供了有力的参考。（二）为了说明政府相关部门采取的措施对疫情的影响，我们特别建立了第二个模型，定性的来评估各种措施。我们以系统动力学原理为基础，采用计算机模拟整个过程。其中使用了如下的可控参量：SARS潜伏期天数隔离措施强度（%）感染率(由接触人数、防范措施决定)（人/天）病人发病后入院的延迟时间(天)系统动力学概念模型图（见图（八））图（八）程序流程如图（九）所示：初始化按日循环按病人数循环移出者否是根据目前病人状况加入新的病人，并且更新当前病人的数据统计图（九）健康人群潜伏者发病治疗/隔离死亡欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心根据此模型，我们来定性的研究各个参量对疫情的影响隔离措施强度对疫情的影响隔离强度就是被感染的潜伏者被隔离的百分比。在这里，我们设定隔离百分比分别为50%、80%，其它参数都一样。结果如图（十）所示：图（十）对上面的曲线进行分析，可以看出，隔离度相差30%，发病总人数减少了500多人。SARS的平息时间大概能提前20多天。可以看出，隔离强度越大，效果越好。当隔离度趋近于1时，SARS将在很短的时间内平息。但是由于SARS病人接触人员的流动性可能非常大，难以统计，加之医疗机构人力等方面的因素，是不可能做到100%的隔离的。因此在加大隔离强度的同时，其它方面也要加大力度控制。入院时间对疫情的影响由于潜伏期不易被人发现，且潜伏期不传染等特点，那么病人发病后尽早治疗成了减少传染他人的一大途径。图（十一）是病人1天入院和3天入院对SARS的影响。欢迎光临中国数学建模网―――感谢您对网站建设一如既往的支持与关心图（十一）由分析图（十一）可以看出，1天内入院和3天内入院，发病总人数减少了800多人。据报道，病人发病后3-5天感染性最强。如果入院时间很晚，可想而知，发病人数将大大增加，甚至达到疫情无法控制的地步。因此各级主管部门应当加强宣传力度，发动群众对出现疑似症状的人尽早去指定医院查明情况，切不可因为害怕等原因耽误治疗，害人害己。3、感染率对疫情的影响感染率主要由病人接触人数、防范意识、预防措施等因素决定。减少公共活动，比如暂停节假日的休假、推迟取消公共活动，加大宣传力度、供应充足的防护用品，注意个人卫生等都对感染率的下降有显著作用。六．对经济的影响SARS作为一场灾难，相信全中国乃至全世界都感受到了它的危害，其中首当其冲的就是经济。我国是SARS病毒的重灾区，经济所受的伤害相对其他国家较大。其中对第一产业、第二产业产生的影响很有限，全国仍然继续保持快速发展的势头；对第三产业的影响较大，主要体现在旅游、餐饮、宾馆、交通运输、娱乐、零售等服务行业上，重点领域是进出口、消费和消费者信心等，尤其是疫情严重的广东和北京等地