2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第7章第四节 直线与平面垂直(苏教版江苏专用

第四节直线与平面垂直第四节直线与平面垂直考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的___________________，那么这条直线和这个平面垂直．该直线叫做这个平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面．即对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的______________直线．所有直线都垂直任意一条(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_____________都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．它的数学符号表示为：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性质定理：同垂直于同一个平面的两条直线_________．符号表示：_________________________.相交直线m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，则a∥b(4)点到平面的距离：从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___________间的线段长，叫做这个点到这个平面的距离．2．斜线在平面内的射影垂足(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这个点在这个平面内的射影；当这一点在平面内时，该点在平面上的射影就是它自身；这一点与_________之间的线段长叫做这点到这个平面的距离．(2)一条直线和一个平面相交，但不垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做_________．射影斜足从平面外一点向平面引斜线，这点与_________间的线段叫做这点到这个平面的斜线段．如上图所示，直线PR∩α＝R，PR不垂直于α，直线PR是α的一条斜线，点R为斜足，线段PR是点P到α的斜线段．(3)平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有_______条．斜足无数(4)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影．如上图所示，直线QR是直线PR在平面α上的射影，线段QR是点P到平面α的斜线段PR在平面α上的射影．(5)斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上．3．直线与平面所成的角(设为θ)(1)斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_______所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．射影锐角(2)当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是_______；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为________.0°直角直线l和α的位置关系l⊂α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范围θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°(0，π2)思考感悟如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面是否垂直？提示：不一定垂直，若平面内一组平行线与直线l垂直，但直线l与平面的关系是不确定的．1．三棱锥的四个面中直角三角形最多有________个．答案：42．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是________．答案：①③课前热身3．下列说法正确的个数是________．①若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直③若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行④两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直答案：14．给出下列四个说法：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在第一个平面内．其中正确的是________．答案：④考点探究·挑战高考直线与平面垂直的判定考点突破证明线面垂直的方法和常用结论(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．(4)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．(5)一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．(6)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.【思路分析】根据线面垂直的判定定理，要证明OE⊥平面ACD1，只须在平面ACD1内找两条相交直线分别与OE垂直．例1【证明】如图，连结AE，CE，D1O，D1B1，D1E.设正方体DB1的棱长为a.易证AE＝CE.又∵AO＝OC，∴OE⊥AC.在正方体DB1中易求出：D1O＝DD21＋DO2＝62a，OE＝BE2＋OB2＝32a，D1E＝D1B21＋B1E2＝32a，∴D1O2＋OE2＝D1E2，∴D1O⊥OE.∵D1O∩AC＝O，D1O，AC⊂平面ACD1.∴OE⊥平面ACD1.【名师点评】证明线面垂直，往往利用线线垂直或面面垂直转化，除此外，构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理求长度之间的关系证明垂直，甚至借助矩形相邻边的垂直等，都是可能用到的方法．已知：S－ABC为正三棱锥，AH⊥面SBC于H.求证：H是△SBC的垂心．【思路分析】只需证SH⊥BC、BH⊥SC，要证SH⊥BC，只需证SA⊥BC.由于是正三棱锥，所以只需证对棱互相垂直即可．线面垂直的性质定理的应用例2【证明】取BC的中点D，连结AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD.∵SA⊂平面SAD，∴BC⊥SA.同理，SC⊥AB，SB⊥AC.连SH.∵AH⊥平面SBC，BC⊂平面SBC，∴AH⊥BC，又SA⊥BC，AH∩SA＝A，∴BC⊥面SAH，又∵SH⊂面SAH，∴BC⊥SH.同理BH⊥SC.∴H是△SBC的垂心．【名师点评】证明线线垂直常采用线面垂直进行证明，构造一个线的垂面是证明线面垂直的常用方法．变式训练1如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG，求证：BC∥FG.证明：如图，连结DE，由AD⊥AB，AD⊥AC，可得AD⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，则AD⊥BC.又AE⊥BC，得到BC⊥平面ADE，①∵AF＝AG，EF＝EG，AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.②由①、②得到BC∥FG.对于线面垂直问题，首先应分析它给出了哪些条件，可以得出什么结论，再分析问题是什么，需要什么条件，从而在条件与结论之间搭起一座桥梁，在分析时要紧紧围绕“线线垂直、线面垂直可相互转化”这一思想进行探究．与线面垂直有关的探索性问题如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在△PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.例3【思路分析】(1)取PD的中点E，连结EM、EA.(2)寻找与面PBD垂直的平面及交线，再据面面垂直的性质探寻N点的位置．【解】(1)证明：∵M是PC的中点，取PD的中点E，则ME綊12CD，又AB綊12CD，∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥EA，BM⊄平面PAD，EA⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)由(1)知ABME为平行四边形．PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.同理CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴AB⊥AE，∴ABME为矩形．∵CD∥ME，CD⊥PD，PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME，PD⊂平面PBD.∴平面PBD⊥平面ABME，作MF⊥EB，交BE于F，∴MF⊥平面PBD.延长MF交AE于N，在矩形ABME内，AB＝ME＝1，AE＝2，∴MF＝23，NE＝22，N为AE的中点．∴当点N是△PAD边PD上中线的中点时，MN⊥平面PBD.【名师点评】该题要找平面PBD的垂线，应先找出面PBD的垂面ABME，则垂线就在面ABME内，且与交线BE垂直，故要找垂线往往是先找垂面．变式训练2A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：(1)取AB的中点E，连结DE、CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知，可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE、CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.方法技巧1．这部分内容知识多，准确理解，熟练掌握定义、判定定理、性质定理并能够进行三种语言的转换是关键．2．直线与平面垂直的判定方法①定义法：直线与平面内任一直线垂直．方法感悟②判定定理法：要证一条直线与一个平面垂直，只要证这条直线和这个平面内两条相交直线垂直即可．③面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．3．转化思想的应用：线线、线面、面面的垂直关系可以相互转化：失误防范1．在观察空间几何体图形时，线线、线面的垂直“位置”观察错误，没有合理地推导，只凭主观猜想造成结论错误．2．在某些题目中，所给的边角数量较多，这类题应主要由数量如勾股定理、等腰等，构造出垂直关系，易忽视数量对垂直的影响．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的江苏高考试题来看，线面垂直的判定与性质是高考的重点和热点，其题型既有填空题，也有解答题，难度中等偏高．预测2012年江苏高考考查的可能性仍然较大，要求学生有较强的空间想象力，逻辑推理能力以及分析问题解决问题的能力．(本题满分14分)如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.规范解答例【证明】如图，取PD的中点E，连结AE，NE.∵E、N分别为PD、PC的中点，∴EN綊12CD.4分又∵M为AB的中点，∴AM綊12CD.∴EN綊AM，∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形.7分∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.10分又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.14分【名师点评】本题主要考直线面垂直的判定与性质的应用，理清关系，合理转化，对空间想象力，推理论证能力要求较高．1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列4个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题序号是________．名师预测解析：根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理可知正确的命题序号是②③.答案：②③2．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.则所有正确结论的序号是________．解析：如图，设P在面ABC内射影为O，则O为正△ABC的中心．①可证AC⊥面PBO，∴AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③BA与DE不垂直，故AB与平面PDE不垂直．答案：①②3．如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD－