3-贝塞尔不等式

§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式若f(x)以2p为周期，设若，则误差最大偏差：平均平方误差：选择使最小。 ) ( ) ( x T x f n » )] sin cos ( 2 1[ ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 kx kx a x f x T x f x k k n k n n baD++-=-=å= ) sin cos ( 2 1 ) ( 1 0 kx kx a x T k k n k n ba++=å= | ) ( | max x n x Dpp££- dx x n n ) ( 2 2 1 2 ò-=pppDd ) ( 2 x n d ) ,..., 2 , 1 ( , , 0 n i i i =baa§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 ) ( ) sin cos ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 0 2 2 x f kx kx x f x f x k k n k n baaD+--=å= ), ( ) sin cos ( 4 2 2 2 2 1 2 0 x h kx kx n n k k k ++++å=baa ) sin cos ( 2 ) sin cos ( ) ( 1 , 1 0 jx kx kx kx x h k k n j k k k n k n babaa·++=åå== ) sin sin cos cos ( 2 , 1 , jx kx jx kx j k j k n j k j k bbaa++å¹=ò-=pppd dx x f n ) ( 2 1 2 2 ]} ) ( ) [( ) 2 ( 2 {2 1 2 2 1 2 0 0 k k k k n k b a a -+-+-+å=baa )] ( 2 [2 1 2 2 1 2 0 k k b a a n k ++-å=§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • 其中是f(x)的傅氏级数。 • 当最小。 2 n d ) ,..., 2 , 1 ( , , 0 n k b a a k k = ) ,..., 2 , 1 ( , , , 0 0 n k b a a k k k k ====baa§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • 定理1：设函数f(x)在[-p,p]上可积，则当取等于f(x)的傅氏系数时，三角多项式T n (x)与f(x)的平均平方误差达到最小，且其中为f(x)的傅氏级数。 ) ,..., 2 , 1 ( , , 0 n k k k =baa ) ,..., 2 , 1 ( , , 0 n k b a a k k = ], ) ( 2 [2 1 ) ( 2 1 min 1 2 2 2 0 2 2 åò=-++-= n k k k n b a a dx x f pppd§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • 推论1：设函数f(x)在[-p,p]上有界可积，则有下列贝塞尔不等式： • 推论2：设函数f(x)在[-p,p]上有界可积，则傅氏系数a n 与b n 都趋向于零(当n→∞时)。 . ) ( 1 ) ( 2 2 1 2 2 2 0 òå-¥=£++ppp dx x f b a a k k k§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • 定理2：设函数f(x)在[-p,p]上有界可积，将f(x) 的傅氏系数的前(2n+1)项的部分和记作S n (x),即令则有 , )] ( ) ( [ 2 1 2 2 dx x S x f n n ò--=ppps ). sin cos ( 2 ) ( 1 0 kx b kx a a x S k k nk n ++=å= . 0 lim 2=¥® n ns§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • 推论1：当函数f(x)在[-p,p]上有界可积，则有帕斯瓦尔不等式： • 这里为f(x)的傅氏系数。 , ) ( 1 ) ( 2 2 1 2 2 2 0 òå-¥==++ppp dx x f b a a k k k ,...) 2 , 1 ( , , 0 = k b a a k k§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • 贝塞尔不等式几何解释 • 帕斯瓦尔不等式的几何意义 • 平均逼近与平均收敛：S n 与f之间在可积函数空间中的距离趋于零（当n→∞时）。§3贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式 • [-p,p]上两个有界可积函数f与g之间的距离是f­g的范数， • 令 • 那么 ), sin cos ( 2 ) ( 1 0 kx b kx a a x S k k nk n ++=å= . || || 2 1 )] ( ) ( [ 2 1 2 2 2 n n S f dx x S x f n-=-=ò-ppps , ) ] [ 1 ( || || 2 1 2 dx g f g fò--=-ppp