自适应滤波分析

4/16/202015.自适应滤波5.1预备知识5.1.1自适应滤波原理所谓自适应滤波，就是用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。所谓最优是以一定的准则来衡量的，最常用的两种准则是最小均方误差准则和最小二乘准则。自适应滤波器的主要指标是收敛速度、失调、计算复杂度、结构模块化和数值特征。4/16/202025.1.2自适应滤波器的组成、分类与结构自适应滤波器由数字结构、自适应处理器和自适应算法三部分组成。数字结构是指自适应滤波器中各组成部分的联系。自适应处理器即前面介绍数字滤波器，所不同的是这里的数字滤波器是参数可变的。自适应算法是用来控制自适应滤波器参数的变化。自适应滤波器分类4/16/202031.按数字结构分类自适应滤波器按其数字结构可分为开环自适应滤波器和闭环自适应滤波器。nxnynd自适应处理器自适应算法输入信号输出信号参考信号图5.1开环自适应滤波器4/16/20204nxnynd自适应处理器自适应算法ne输入信号输出信号期望响应误差∑-+图5.2闭环自适应滤波器2.按自适应处理器分类自适应滤波器按其自适应处理器可分为非递归自适应滤波器和递归自适应滤波器。4/16/202053.按自适应算法分类自适应滤波器按其自适应算法可分为LMS(最小均方)自适应滤波器和RLS（递归最小二乘）自适应滤波器等。5.1.3自适应滤波应用举例1.自适应预测2.自适应干扰对消3.自适应系统辨识4/16/202065.2维纳滤波器滤波定义:所谓滤波,是指在含噪信号x(k)=s(k)+v(k)或其矢量信号x(k)=s(k)+v(k)中尽可能排除噪声v(k)或v(k)干扰，而将有用信号s(k)或s(k)分离或提取出来。若设计的对x(k)进行滤波的滤波器能使其输出y(k)尽可能逼近s(k)，成为s(k)的最佳估计,这种滤波器称为最佳滤波器)(ˆks滤波、预测与平滑设基于观测过程x(k)或矢量观测过程x(k)，对s(k+α)或s(k+α)作最优估计，那么若α=0，就是滤波问题。若α0，就是预测问题。若α0，就是平滑问题。4/16/20207维纳滤波设信号s(k)或s(k)及观测过程x(k)或x(k)是广义平稳的,且已知其功率谱或自相关函数的知识，则基于观测过程x(k)或x(k)，按线性最小均方误差估计准则，对信号s(k)或s(k)所作的最优估计称为维纳滤波5.2.1正交性原理与维纳-霍甫夫方程考虑如图所示的一般线性时不变离散时间滤波器。设该滤波器的输入x(n)=s(n)+v(n)是混有噪声的观测数据，其单位冲激响应为h(n)，y(n)=是对信号s(n)的最佳估计。估计误差e(n)定义为期望响应s(n)与滤波器输出y(n)之差,即。)(ˆns)(ˆ)()()()(nsnsnynsneh(n))()()(nvnsnx)(ˆ)(nsny图一4/16/20208设计滤波器的过程可表述如下：设计线性离散时间滤波器的单位冲激响应h(n),使滤波器输出y(n),在给定输入样本x(0),x(1),…的情况下给出期望响应s(n)的估计，并能使估计误差的均方值为最小)(ˆ)()(nsnsne})({2neE根据图一，n时刻的滤波器输出表示为：ˆ()()()*()()()mynsnxnhnhmxnm由于滤波器为物理可实现的，故h(n)必须是因果序列：00)(nnh又由于实际中只能得到有限个观测数据，故（1）式可写成：（1）)()()(ˆ10knxmhnsNm（2）4/16/20209])[(])ˆ[(][10222NiiisxhEssEeE估计的均方误差为0][2][2])([][22iiiiexEheeEheEheE式中为了书写方便，令hi=h(m),xi=x(n-m),e=e(n),s=s(n),)(ˆˆnss(3)为求出使E[e2]最小的hi，将上式对各hi求偏导数，并令其等于0，得得1,,2,1,00][NiexEi及1,,2,1,0,0])[(10NixsxhENjijj(4)(5)式(4)或式（5）称为正交方程4/16/202010正交性原理及推论：1）正交性原理：要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi}的选择应使估计误差e与所有的观测值xi正交，其中i=0,1,2….N-1。2）正交性原理的推论：要使估计的均方误差最小，滤波系数{hi}的选择应使估计误差e与估计值正交，其中i=0,1,2….N-1。sˆ）式可写为，则（，若令5][][isxiijjiRsxERxxE1,,2,1,0,0][][10NisxExxEhNjiijj即1,,2,1,0,10NiRRhNjsxjiji(6)式(6)称为维纳-霍甫夫方程，它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。将i=0,1,2,…N-1分别代入（6）得N个方程组成的线性方程组，写成矩阵形式4/16/202011sxxxRhR式中Rxx称为x(n)的自相关阵,Rsx称为s(n)与x(n)的互相关向量。0,00,10,11,01,11,11,01,11,1()()HxxNNNNNNEnnRRRRRRRRRRxxTNhhh110hTsxsxsxsxNRRR110R(7)4/16/202012由式(7)可解出最佳单位脉冲响应为sxxxoptRRh15.2.2维纳-霍甫夫方程求解维纳-霍甫夫方程的解就是维纳滤波器的系数，也即FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)，此时维纳滤波器的输出是信号的最佳估计。相应地，最佳的单位脉冲响应叫做维纳解。设计维纳滤波器可以归结为求维纳解，也就是解维纳-霍甫夫方程。下面介绍一种求维纳解的方法，搜索法。首先将前面提到的单位脉冲序列h(n)表示为权系数w0,w1,…wN-1,由权系数组成的向量称为权向量。则n时刻权向量表示为TNnwnwnwn)()()()(110w4/16/202013n时刻及以前的数据组成的向量叫信号向量，表示为TNNnxnxnxn)1()1()()(xn时刻希望得到的输出叫期望响应，用d(n)表示，定义均方误差性能函数为)]([)(2neEn根据前面的分析，得对滤波器的输出即期望响应d(n)的估计为)()()()()(ˆ10nninxnwndNTNiixw均方误差性能函数表达式为4/16/2020142222ˆ()[()]{[()()]}{[()()()]}[()]2()[()()]()[()()]()TNTTTNNNnEenEdndnEdnnnEdnnEdnnnEnnnwxwxwxxw)1()1()0()]1()([)]1()([)]()([)]()([NRRRNnxndEnxndEnxndEnndExdxdxdNxp上式P为互相关函数组成的N维列向量（8）（9）4/16/202015令021201110)]1()1([)]1()1([)]1()1([)]()1([)]1()([)]()([xxxxxxxxxNNRNRNRNRRRNRRRNnxNnxENnxNnxENnxnxEnxnxENnxnxEnxnxEnnETxxRR为数据的自相关函数组成的N×N维矩阵（10）4/16/202016将（9）式、（10）式代入（8）式可得均方误差性能函数为：RwwPwwTTd2)(2单权重情况:抛物线nwPnwRndEnPRnwn020200200,0PRw性能曲面4/16/202017两个权系数:抛物面nwPnwPnwnwRnwnwRndEnwnwPPnwnwRRRRnwnwndEnPPRRRRnwnwnT1010212021010102101202120102011010,0110PRw4/16/202018个权系数:一个维空间内的超抛物面“碗底”点对应于均方误差最小点，也就是最优权系数矢量所在的点。对于一个二次性能方程，存在唯一全局最优权矢量，没有局部最优点存在.将碗底所对应的权向量表示为N1Nw***011*[]TNw上式即为搜索目标，即实现最优滤波时的权系数。4/16/202019梯度法很多自适应方法使用基于梯度的方法寻找可以达到最小均方误差的权矢量。均方误差性能曲面的梯度定义为：01122TNnnnnnwnwnwnnwRwP最优权重矢量处梯度为零：PRwPRw1022nn4/16/202020最小均方误差：2min2122ddddTTT1T1T1TwRw2PwRPRRP2PRPPRPPw与维纳滤波器的最小均方误差比较:1T1RR2min2EsnEsnT1ToptPRPPh4/16/2020215.2.3误差性能曲面的几何性质误差性能函数RwwPwwTTd2)(2将误差性能函数改写为202[()]TTdwRwwPw如果令ε(w)为某固定值，在二维情况下，*式就是椭圆方程。该椭圆方程也叫等高线方程。图1给出了不同均方误差的椭圆曲线图。*4/16/2020224/16/202023下面以ε(w)=2εmin为例分析等高线的性质。将ε(w)=2εmin代入*式得2min2[2]0TTdwRwwP为了便于分析，现将等高线方程标准化，即通过坐标系的平移、旋转使等高线方程标准的椭圆方程。1）首先进行坐标系平移通过坐标系平移，将原来w坐标系的坐标原点移至碗底位置成为v坐标系，有*v将代入上式得*1wRp1wvRp**4/16/202024将上式代入**式得2min2*0TTdvRvPw结合式得2mindTPwminTvRv上式即为平移坐标系v中的椭圆方程。与标准椭圆方程比较001min101[]10vRRvvRRv2210[]110xaxyyb***4/16/202025得若椭圆方程为标准方程，则R矩阵必须为对角阵。下面通过旋转来实现。2）进行坐标系旋转对N阶实对称阵R存在正交阵Q使得12(,,,)TNdiagQRQ上式中λi是对角阵Λ的特征值也是称阵R的特征值。若将上式两边同乘Q，有TQQRQQΛRQQΛ令上式写为12[]NQφφφ****4/16/2020261212120000[][]00NNNRφφφφφφ1,2,,iiiiNRφφ即说明Q的各列是R的特征向量，分别对应于Λ的对角线的一个元素。4/16/202027将****式两边同乘QT=Q-1代入***式得minTTvQΛQv令QTV=V′代入上式，整理得min''TvΛv上式即为标准的椭圆方程N维的均方误差函数在平移坐标系、主轴坐标系中的表示分别为min()TwvRvmin(')''Tvvv4