《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件：专题研究 正、余弦定理应用举例

专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点专题研究正、余弦定理应用举例专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．上方下方专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点例1如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点【解析】在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.【答案】22a专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点探究1这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点思考题1为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点【解析】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1，B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝dsinα2sinα1＋α2；第二步：计算AN.由正弦定理，得AN＝dsinβ2sinβ2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点方案二：①需要测量的数据有：A到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM＝dsinα1sinα1＋α2；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN＝dsinβ1sinβ2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝BM2＋BN2＋2BM×BNcosβ2＋α2.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【思路】依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，BE最小时，仰角最大，要求出塔高AB，必须先求BE，而求BE，需先求BD(或BC)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点【解析】如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD.∴BD＝40sin30°sin135°＝202.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．【答案】103(3－3)米专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点探究2本题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．思考题2要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点【解析】如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．【答案】40米专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点例3如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点【解析】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB.∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．【答案】1小时专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点探究3首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点思考题3如图所示，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点【解析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD＝CD＝22AC＝22×10＝52(海里)．在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，所以BD＝AD×tan60°＝52×3＝56(海里)．所以BC＝BD－CD＝(56－52)海里．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝AC30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝BC13＝5×6－213≈5×2.45－1.4113＝0.4(小时)．因为130.4，所以中国海监船能及时赶到．【答案】中国海监船能及时赶到专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题要点课时作业（二十八）