武汉大学 神复习资料 线性代数复习提要

线性代数复习提要黄正华∗2011年5月26日目录0全书总结11行列式22矩阵33线性方程组54向量组的线性相关性75相似矩阵及二次型9§0全书总结如果非要给这本书加一个副标题,我希望是——《一个方程组引发的故事》.§0.1全书概览我们现在使用的教材是工程数学《线性代数》,是线性代数学科比较基础的部分.这一部分的中心是围绕“用高斯消元法求解线性方程组”的问题展开的.全书中心的例子其实是第三章P.57的引例.由此衍生了三个工具——行列式、矩阵、向量组,从不同的角度来阐述方程组的求解问题.要特别注意,矩阵、向量组、方程组这三个问题的相互转化.比如,向量组的问题,可能需要转化成矩阵的问题来解决;也可能要借助方程组解的相关理论来解决.第一章的中心可以认为是克拉默法则,前面的行列式讨论是为克拉默法则作铺垫的.高斯消元法的过程,可以简单地表示为方程组的增广矩阵的初等行变换,这自然引出了对矩阵的专门讨论.方程组经过高斯消元法总是会稳定地保留一定数量的方程,这就对应着秩的问题.矩阵的细部是向量,更进一步讨论向量的线性表示、线性相关性才说明了,为什么矩阵的初等行变换中有一些行会被变为零,为什么消元法解方程时有的方程会被消掉.最大无关组的概念才真正解释了,为什么消元法解方程组时保留下来的方程个数是稳定不变的.既然中心的议题是解方程组,那么关于线性方程组解的理论要非常清楚,比如“n−r”的含义,有解、无解的充要条件.∗Email:[e-mail]1§0.2要点TOP10下面的要点列为TOP10是因为其理论重要性、易错等原因.(I)|λA|=λn|A|.(A为n阶方阵)(II)矩阵乘法不满足交换律、消去律.(III)矩阵秩的性质5∼8.(IV)特征值性质:λ1+λ2+···+λn=a11+a22+···+ann;λ1λ2···λn=A.(V)若λ是A的一个特征值,则ϕ(λ)是矩阵多项式ϕ(A)的特征值.(VI)齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n−r个线性无关的解构成.(VII)线性方程组有解、无解的充要条件.(VIII)矩阵对角化的充要条件.(IX)伴随矩阵的定义,AA∗=A∗A=|A|E.(X)初等变换不改变矩阵的秩.§0.3例题TOP5教材上的例子,如下几个在方法上特别重要:(I)P.75第三章例题13,带参量的线性方程组解的讨论.特别重视解法二.(II)P.123第四章例题11,矩阵对角化.综合了矩阵对角化的充要条件、“n−r”结论.(III)P.65第三章例题3,用初等变换法解矩阵方程.题目没有难度,但是很多人没有接受这个简便的解法.(IV)P.100第四章例题13,证明矩阵秩的性质8.AB=O,则视B的列为方程组Ax=0的解,这个观念很重要.(V)P.120第五章例题9,特征值性质的应用.或见P.135习题12,13.这也是近年考研常见的题型.§1行列式在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵.虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种符号或速记,但从数学史上来看,优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙.§1.1基本要求(一)熟悉行列式的计算.一种是数字型的行列式(一般是一个4阶、5阶的数字行列式),另一种是n阶行列式.建议熟悉典型例题:计算n阶行列式Dn=xa···aax···a.........aa···x.及其变形,比如:Dn=x1a···aax2···a.........aa···xn.Dn=x1a2···ana1x2···an.........a1a2···xn.计算n阶行列式,有以下常用手法:2•行累加,即把行列式的某n−1个行,加到余下的一行.当行列式的各行的和相同时常使用此技巧.•主行消法,即某行的适当倍数,加到其余的各行.•逐行消法,即第i行乘以k加到第i+1行,i=n−1,n−2,···,1;或第i+1行乘以k加到第i行,i=1,2,···,n−1.•逐行相邻互换.要特别重视逐行消法.当然,这些方法都是行列式三种基本变换的“高级形式”.(二)牢记克拉默法则.克拉默法则告诉我们,对含有n个方程的n元线性方程组,系数行列式|A|6=0时,方程组有唯一解.并且给出了相应的公式.我们要记住的不是这个公式本身,因为它并没有实用性.但是从这里,我们要建立一个牢固的印象:|A|=0时,齐次线性方程组Ax=0有非零解.因为方程组Ax=0是天然有解的:它至少有一个解,就是零解,即x1=x2=···=xn=0.对齐次线性方程组Ax=0,我们关心的不是它有没有解,而是关心它什么时候有非零解.|A|6=0时,方程组有唯一解,即零解.反过来,我们容易记住:|A|=0时,齐次线性方程组Ax=0有非零解.§1.2常用计算公式请自己总结.§2矩阵矩阵是一个数表,而行列式本质上是一个数.这是两者的巨大区别.§2.1本章重点(一)矩阵的运算.特别是矩阵乘法不满足的几个运算律.(I)不满足交换律,即AB=BA一般.不.成.立.(特别地,若AB=BA,则称矩阵A和B是可交换的.)相应地要注意以下几点:(1)矩阵乘法特别地有“左乘”和“右乘”的说法,比如B左乘A(即BA)和B右乘A(即AB)是完全不同的.(2)在提取公因子的时候,要分清楚是从左侧还是右侧提出.比如AB−B可以写为(A−E)B,即B只能从右侧提出,不能写成B(A−E).而AB−BC,写成(A−C)B或B(A−C),都是错误的.(3)由于不满足交换律,下列公式一般.不.成.立:•(AB)k=AkBk;•(A+B)(A−B)=A2−B2;•牛顿二项式展开式一般不成立,比如最简单的公式(A+B)2=A2+2AB+B2就.不.成.立.而A与λE当然是可交换的,所以牛顿二项式展开式只在下面的情形成立:(A+λE)n=An+C1nλAn−1+C2nλ2An−2+···Cn−1nλn−1A+λnE.(II)不满足消去律:(1)当AB=O时,不能推出A=O或B=O.(2)当AB=AC,且A6=O时,不能得到B=C.注意,当A可逆时,消去律是成立的,即当AB=O时,且|A|6=O时,有B=O;当AB=AC,且|A|6=O时,有B=C.3矩阵运算不满足交换律,不满足消去律,还有一些过去熟知的公式在矩阵理论里并不成立.前述是线性代数初学者最容易犯的几个错误之一,为数不少的人会一直犯这个错误.我们要注意,虽然矩阵也有所谓的“加法”、“乘法”,但是这和我们熟知的实数加法、乘法是完全不同的.运算的对象不同,运算的内容不同,当然,运算的规律也不同.这是两个不同的讨论范围里的不同运算,相同的只不过是沿用了以前的称谓或记号而已,我们不要被这一点“相同”而忘记二者本质的不同.(二)伴随矩阵.(1)AA∗=A∗A=|A|E.这个公式要牢记!其重大意义是由此引入了逆矩阵的讨论.注意这里的A不一定是可逆的.(2)若A6=0,则A−1=1|A|A∗.它在理论上给出了求逆矩阵的方法,但是并不实用,在第三章将给出一个简单实用的方法(见教材P.64例2).(三)逆矩阵(1)矩阵定义中的条件“AB=BA=E”是可以弱化的:设A,B为方阵,若AB=E,则A,B可逆,且互为逆矩阵.更一般地,对方阵而言,若A1A2···Ak=λE且λ6=0,则矩阵A1,A2,···,Ak都是可逆的.(2)逆矩阵在运算中实现了除法的功能.在矩阵中没有除法,或者说,我们通过引入逆矩阵,避免了对除法的讨论.对于任意的n阶方阵A都有AE=EA=A.从乘法的角度来看,n阶单位矩阵E在矩阵中的地位类似于1在实数中的地位.一个实数a(a6=0)的倒数可以用等式aa−1=1来刻划,相仿地,我们引入记号A−1表示A的逆矩阵,并且满足AA−1=E.记号A−1是特定的,它不能写成1A.(3)矩阵可逆的几个等价说法:设A为n阶方阵,矩阵A可逆⇐⇒|A|6=0⇐⇒A为非奇异矩阵.其他的等价说法,在以后会学习到.§2.2其他重要公式与结论•|λA|=λn|A|.•(AB)−1=B−1A−1.•(AB)T=BTAT.•abcd!−1=1ad−bcd−b−ca!,(ad−bc6=0).•A1A2...Ak−1=A−11A−11...A−1k.•A1A2...Ak=|A1||A2|···|Ak|.•OABO!−1=OB−1A−1O!.(P.56习题27)•OAm×mBn×nO=(−1)mn|A||B|.(使用Laplace展开可得.或者,将A所在行的最后一行开4始,与B所在的n行进行相邻互换,共进行m×n次互换后,得到Bn×nOOAm×m.)§3线性方程组秩是矩阵的一种内在属性.矩阵的这种内在属性是与生俱来的,一个矩阵一旦诞生,它的这种内在属性就确定了.虽然初等变换可以把它们变得面目全非,但是它们的这个内在属性是不变的.等价的矩阵,看上去各各不同,但是有一个内在属性是一样的,那就是它们的秩.§3.1本章重点(一)初等矩阵在矩阵乘法中的功能.“复制、传递”——初等矩阵是怎么由单位阵得来的,它将把该变换过程传递到它所乘的矩阵;并遵循“左乘则行变,右乘则列变”的特点.具体而言,设P为初等矩阵,(i)若P左乘矩阵A,则PA的结果是:把矩阵A进行初等行变换,并且P是怎样由单位矩阵E通过行变换得来,矩阵A就进行完全相同的行变换.(ii)若P右乘矩阵A,则AP的结果是:把矩阵A进行初等列变换,并且P是怎样由单位矩阵E通过列变换得来,矩阵A就进行完全相同的列变换.上述过程体现为初等矩阵P把自己生成的过程.复.制、.传.递到了矩阵A上.设P=10k0100101,A=a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4.(i)若计算PA,“左乘则行变”,意味着把A进行初等行变换,P是由单位矩阵E经行变换r1+kr3得来,则把A就进行相同的行变换,所以10k0100101a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4=a1+kc1a2+kc2a3+kc3a4+kc4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4.(ii)若计算AP,“右乘则列变”,此时要视P是由单位矩阵E通过初等列变换c3+kc1得来,并有a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d410k0100101=a1a2a3+ka1a4b1b2b3+kb1b4c1c2c3+kc1c4d1d2d3+kd1d4.(二)利用初等变换求(1)A−1;(2)A−1B或BA−1.在本章,矩阵求逆和解矩阵方程,在方法上已经完全更新.虽然我们不再通过伴随矩阵求逆矩阵,但用定义求伴随矩阵的方法仍然要熟练掌握.(二)矩阵的秩(1)初等变换不改变矩阵的秩.或者用下面的两种方式表述:(i)若A∼B,则R(A)=R(B).(但R(A)=R(B)不能得A∼B,除非两者是同型矩阵.)(ii)若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A).(2)矩阵和、差、积的秩.5(i)R(A)−R(B)6R(A±B)6R(A)+R(B).(ii)R(A)+R(B)−n6R(AB)6minR(A),R(B) .其中A,B分别为s×n和n×m矩阵.(三)线性方程组有解判别(1)一般的方程Ax=b的情形.对n元线性方程组Ax=b,记B=(A,b).注意到R(B)比R(A)只多0或1.(i)若R(B)=R(A)+1,则说明出现了矛盾方程,导致方程组无解.(ii)若R(B)=R(A),则没有矛盾方程,方程组有解.其中,(a)当R(B)=R(A)n时,说明出现了自由未知量,导致方程组有无限多解;(b)而R(B)=R(A)=n时,则没有出现自由未知量,所以方程组有唯