李雅普诺夫稳定性分析

1第4章李雅普诺夫稳定性分析2ˆ一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。¾电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力¾火箭飞行中保持航向为一定的能力等。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。ˆ稳定性是控制系统的首要问题。3ˆ分析一个控制系统的稳定性，一直是控制理论中所关注的最重要问题。ˆ对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据。¾A、直接判定：SISO中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯代数判据和奈魁斯特频率几何判据。仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。¾B、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。4ˆ1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。ˆ该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。5ˆ控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：¾外部稳定性：基于输入-输出描述法描述系统的外部特性,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定性;有界输入有界输出稳定。¾内部稳定性：基于状态空间法不仅描述了系统的外部特性,且全面揭示了系统的内部特性,因此,借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。ˆ外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。ˆ对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。6李亚普诺夫将判断系统稳定性的方法为两种：€第一类方法是将非线性系统在平衡状态附近线性化，然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。¾这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。¾该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法。€第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是基于能量的观点，通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。¾由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二种方法称为直接法，亦称为李雅普诺夫第二法。7第4章李雅普诺夫稳定性分析4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性理论4.3李雅普诺夫方法在线性系统中应用4.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用4.5Matlab在李雅普诺夫应用8ˆ系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指标。¾它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。¾这也是控制理论和控制工程的精髓。ˆ在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。¾从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不然。9ˆ非线性系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的,很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。¾对于非线性系统,其不同的平衡状态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各平衡状态附近的稳定性。¾对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡状态,所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。ˆ李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡状态附近的局部稳定性问题。¾它是一种具有普遍性的稳定性理论,不仅适用于线性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。104.1.1自治系统4.1.2受扰运动4.1.3平衡状态4.1.4范数4.1.5正定函数4.1.6二次型4.1.7李亚普诺夫稳定性定义4.1.8平衡状态稳定性与输入输出稳定性的关系4.1李雅普诺夫稳定性概念114.1.1自治系统4.1李雅普诺夫稳定性概念零输入作用的系统000(,)()xfxtttxtx=≥=其中，x为n维状态向量，f(.,.)为n维向量函数。4.1.2受扰运动系统状态的零输入响应，即自治系统初始时刻t0时受到状态扰动x(t0)=x0后的解。12稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。4.1.3平衡状态对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为(,)xfxt=式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x,t)为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为（4-1）1312(,,,,),1,2,,iinxfxxLxtiLn==(4-2)式(4-1)的解为),;()(00txttΦx=(4-3)式中，t0为初始时刻，x(t0)=x0为状态向量的初始值式(4-3)描述了系统式（4-1）在n维状态空间的状态轨线。若在式（4-1）所描述的系统中，存在状态点xe，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即xe，该类状态点即为系统的平衡状态,即|0exxx==14若系统式（4-1）存在状态向量xe，对所有时间t，都使0xf≡),(te(4-4)成立，则称xe为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。即平衡状态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。平衡态平衡态平衡态z由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡状态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态，如图所示。15‰显然,对于线性定常系统的平衡状态xe是满足下述方程的解。当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡状态xe=0;¾而当A为奇异时,则存在无限多个平衡状态,且这些平衡状态不为孤立平衡状态,而构成状态空间中的一个子空间。¾对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡状态,它们分别为对应于式f(x,t)≡0的常值解。()()xtAxt=()0eAxt=16孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。‰对于孤立平衡状态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点。¾因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡状态取为状态空间的原点。‰值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡状态的稳定邻域(区域)。17【例4-1】设系统的状态方程为⎩⎨⎧−+=−=3221211xxxxxx求其平衡状态。解:其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即⎩⎨⎧=−+==−=003221211xxxxxx即，⎩⎨⎧=−+=−0032211xxxx解之，得系统存在3个孤立的平衡状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10,10,003121eeexxx184.1.4范数‰范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。¾对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为||x1-x2||。¾由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。¾在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为2121,2,1()niiixx=−=−∑xx其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。19¾常用的n为维空间中的其他范数有:1-范数∞-范数121,2,11niiixx=−=−∑xx121,2,maxiiixx∞−=−xx20δx2x1xe∞范数下球域球域‰以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长度δ为半径内的各点所组成空间体称为球域，记为S(xe,δ),¾即S(xe,δ)包含满足||x-xe||≤δ的n维空间中的各点x。δx2x1xe2范数下球域δx2x1xe1范数下球域214.1.5正定函数设V(x)为由n维状态向量x所定义的标量函数，且在x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域Ω中的任何非零向量x，如果Ω∈x(1)V(x)0，则称V(x)为正定的。(2)，则称V(x)为半正定的。0)(≥xV（3），即为正定的，则称V(x)为负定的。0)(xV)(xV−（4），即为半正定的，则称V(x)为半负定的。0)(≤xV)(xV−（5）既可为正值也可为负值,则称为不定的。)(xV)(xV222212()Vxxx=+212()()Vxxx=+2212()Vxxx=−−2122()Vxxxx=−212()(32)Vxxx=−+例1）2）3）正定的半正定的负定的半负定的不定4）5）23二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表示为[]PxxxTnnnnnnnnnjijiijxxxaaaaaaaaaxxxxxaV=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑===#####212122221112112111)(4.1.6二次型二次型函数V(x)和其权矩阵P一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到其对应权矩阵的定号性。24如果P的顺序主子行列式都是负正相间的，则V(x)是负定的。塞尔维斯特（Sylvester）定理：()TVxxPx=为正定的充要条件是P的所有顺序主子行列式都是正的。如果P的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么为半正定的。()Vx0Δ111=a0det;;0212222111211222112112==Δ=Δnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa###P25例证明下列二次型函数是正定的。222123122313()104224Vxxxxxxxxxx=+++−−解：二次型()Vx可以写为[]1123231012()141211TxVxxPxxxxxx−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦因为10121414021161100211−−=+++−+−−101014100所以()0Vx264.1.7李亚普诺夫稳定性定义4种定义稳定渐近稳定大范围渐近稳定不稳定274.1.7李亚普诺夫稳定性定义¾对于任意的ε0和任意初始时刻t0,¾都对应存在一个实数δ(ε,t0)0,¾使得对于任意位于平衡状态xe的球域S(xe,δ)的初始状态x0,εδx2x1x(0)x(0)¾当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,ε)内，则称系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的。(,)xfxt=若状态方程所描述的系统(1)稳定28即逻辑关系式∀ε0∀t0∃δ0∀x0∈S(xe,δ)∀t≥t0x(t)∈S(xe,ε)为真，则xe是李雅普诺夫意义下稳定的。¾若实数δ(ε,t0)与初始时刻t0无关，即逻辑关系式εδx2x1x(0)x(0)∀ε0∃δ0∀t0∀x0∈S(xe,δ)∀t≥t0x(t)∈S(xe,ε)为真，则称稳定的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的。‰对于定常系统来说，上述定义中的实数δ(ε,t0)与初始时刻t0必定无关，故其稳定性与一致稳定性两者等价。¾但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不同。29‰上述定义说明,对应于平衡状态xe的每一个球域S(xe,ε)9一定存在一个有限的球域S(xe,δ),使得t0时刻从S(xe,δ)出发的系统状态轨线总不离开S(xe,ε)，9则系统在初始时刻t0的平衡状态xe为在李雅普诺夫意义下稳定的。εδx2x1x(0)x(0)•对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：–李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。–系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,ε)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。30（2）渐近稳定性上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡状态附近的解总是在该平衡状态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。31‰定义(李雅普诺夫渐近稳定性)若状态方程所描述的系统在初始时刻t0的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，且系统状态最终趋近于系统的平衡状态xe,即Limt→∞x(t)=xeεδx2x1x(0)则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。¾若δ(ε,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡状态xe是