《自动控制原理》孙亮

第2章习题及解答2－1已知电网络如题图所示，输入为ut，输出为，试列写微分方程。i())(tuoR2CuiuoR1R2uiR1CLuo(a)(b)习题2－1题解：（1）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为)()()(211tutiRtiRi=+R2CuiuoR1i2i1i)()()(21tititi=+0)(1)(211=−∫dttiCtiR)()(2tutiRo=化简，消去中间变量得到输出变量为，输入变量为的微分方程为)(),(),(21tititi)(tuo)(tui)(d)(d)()(d)(d2212121tuRttuCRRtuRRttuCRRiioo+=++可简写为)()()()()(2212121tuRtuCRRtuRRtuCRRiioo+=++••（2）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为)()(1)(11tudttiCtiRi=+∫R2i1R1CLuoi2iui)()()(21tititi=+∫=+dttiCtiRdttdiL)(1)()(1222)()(22tutiRo=化简，消去中间变量得到输出变量为，输入变量为的微分方程为)(),(),(21tititi)(tuo)(tui)()()()()()(221211tuRtuRRtuCRRLtuLCRiooo=++++•••解毕。1课后答案网－2电磁铁的磁拉力计算公式为FxiSNix(,)()=μ0224，（单位：N）式中，μ0为空气导磁率，S为磁极面积，N为激磁绕组匝数，i为激磁电流，x为气隙大小，求出Fxi(,)的线性化方程。题解：由于磁拉力Fxi(,)为电流i和位移x的双元函数，在工作点邻域，其泰勒级数展开式为),(000ixF+−⋅+−⋅+===•==•)(),()(),(),(),(000000000iiixFxxixFixFixFiixxiiixxxΛ+−⋅+−⋅+==••==••2020)(),(!21)(),(!210000iiixFxxixFiixxiiixxx忽略二次以上各项有)(),()(),(),(),(000000000iiixFxxixFixFixFiixxiiixxx−⋅+−⋅+===•==•令),(),(000ixFixFF−=Δ00),(iixxxxixFK==•=302002)(xNiSμ−=00),(iixxiiixFK==•=200202xiSNμ=0xxx−=Δ0iii−=Δ则有磁拉力增量式iKxKFixΔ⋅+Δ⋅=Δ将增量式写为一般函数表达式有ixiSNxxNiSiKxKFix200203020022)(μμ+−=⋅+⋅=解毕。2－3求下列时间函数ft()的拉氏变换。Fs()（a）ftt().(cos)=−0515（b）ttft314cose)(2.0−=（c）)35sin()(π+=ttf（d）tttf32e)(−⋅=题解：2课后答案网（a）ftt().(cos)=−0515由定义或者查表)25(5.12)251(5.0)(22+=+−=ssssssF（b）ttft314cose)(2.0−=由于22314]314[cosL+=sst应用拉氏变换的衰减定理有)2.0314(4.02.0314)2.0(2.0)(22222++++=+++=ssssssF（c）ftt()sin()=+53π由于ttttt5cos235sin215cos3sin5sin3cos)35sin(+=+=+πππ所以255.2866.05235521)(22222++=+⋅++⋅=ssssssF（d）tttf32e)(−⋅=由于32!2][stL=应用拉氏变换的衰减定理有3)3(2)(+=ssF解毕。MATLAB语言求解（a）ftt().(cos)=−0515symstf=0.5*(1-cos(5*t));F=laplace(f)F=1/2/s-1/2*s/(s^2+25)（b）ttft314cose)(2.0−=symstf=exp(-0.2*t)*cos(314*t);F=laplace(f)F=(s+1/5)/((s+1/5)^2+98596)3课后答案网（c）ftt()sin()=+53πsymstf=sin(5*t+pi/3);F=laplace(f)F=(1/2*s*3^(1/2)+5/2)/(s^2+25)（d）fttet()=⋅−23symstf=t^2*exp(-3*t);F=laplace(f)F=2/(s+3)^3解毕。4课后答案网－4求出题图所示时间信号ft()的拉氏变换Fs。()t00f(t)tt0π/ω0f(t)tA半波正弦-M0f(t)tMT占空比=ηT0η1（a）（b）（c）习题2－4t0f(t)f1(t)f2(t)f3(t)t0题解：（a）由于信号可以分解为信号的组合如图所示，)(tf→)(1)(1tttf⋅=211)(ssF=→)(1)()(002tttttf−⋅−−=stessF0221)(−⋅−=→)(1)(003ttttf−⋅−=stestsF01)(03−⋅⋅−=所以拉氏变换为)()()()(321sFsFsFsF++=20022)1(1111000ssteestessststst+−=⋅⋅−⋅−=−−−（b）由于信号可以分解为信号的组合如图所示，)(tff1(t)ωπf(t)f2(t)At0tAtfωsin)(1=→221)(ωω+=sAsF)(1sin)(2ωπω−⋅=tttf→sesAsFωπωω−⋅+=222)(所以拉氏变换为)()()(21sFsFsF+=)1(22sesAωπωω−+⋅+=（c）由于信号为周期信号，第一周期的信号如图所示，)(tf其拉氏变换为f(t)M-MT占空比=ηT0)21(2TsTsTsTseesMesMesMs−−−−+−=+−ηη)(1MsF=已知，则周期信号的拉氏变换为)(1sF)(11sFeTs⋅−−1)(sF=所以占空比为η的方波脉冲信号的拉氏变换为TsTsTsTseeesMsFesF−−−−−+−⋅=⋅−=121)(11)(1η解毕。2－5已知下列拉氏变换Fs，求出时间表达式()ft()，并画出曲线草图。5课后答案网（a）Fsssss()()=+++22100100（b）Fsssss()=++++223524（c）FsesTs()=−−12（d）FseTs()=−−11题解：01230.911.10246-0.500.51（a）将作海维塞分解可分解为)(sF1001+1)(2+=sssF作拉氏反变换，有tts10sin101)(1]10012+=+sLtf1[)(1+==时间曲线如图所示。（b）将作海维塞分解可分解为)(sF22)3()1(11421++21)(++=++sss++=sssF作拉氏反变换，有tetsst3cos)(])3()1122−+=+++δLtf(1[)(1−+=时间曲线如图所示。（c）可分解为)(sFTT0tTses−21ssF−=21)(作拉氏反变换，有)(1)()(1]1122TtTtttesTs−⋅−−⋅=−−[)(1sLtf=−时间曲线如图所示。（d）可作等比级数分解为)(sFΛ+++=−−−TsTsTsee21−=esF11)(作拉氏反变换，有]1[)(21Λ+++=−−−TsTseeLtfΛ+−+−+=)2()()(TtTttδδδ时间曲线如图所示。解毕。6课后答案网－6用拉氏变换法求解下式微分方程。（a），rccc=++•••572rRt=⋅1()，0)0(,0)0(==•cc（b），0572=++•••ccc0)0(cc=，0)0(••=cc题解：（a），rccc=++•••572rRt=⋅1()，0)0(,0)0(==•cc将方程两边作拉氏变换][]572[rLcccL=++•••由拉氏变换的线性定理有][]5[]7[]2[rLcLcLcL=++•••由拉氏变换的微分定理有)()(5)]0()([7)]0()0()([22sRsCcssCcscsCs=+−+−−•将初值及输入信号的拉氏变换0)0(,0)0(==•ccsRtRLsR1)](1[)(⋅=⋅=代入上式sRsCssCsCs1)(5)(7)(22⋅=++有输出信号的拉氏变换为RssssC⋅⋅++=15721)(2]5.211521131151[+⋅++⋅−⋅⋅=sssR作拉氏反变换解得]15231)(151[)(5.2tteetRtc−−⋅+⋅−⋅⋅=（b），0572=++•••ccc0)0(cc=，0)0(••=cc本题为齐次方程求解，初始条件不为零而输入信号为零。将方程两边作拉氏变换0]572[=++•••cccL由拉氏变换的微分定理有0)(5)]0()([7)]0()0()([22=+−+−−•sCcssCcscsCs将初值，代入上式0)0(cc=0)0(••=cc0)(57)(722)(20002=+−+−−•sCcssCcscsCs整理有)72(2)(]572[0002ccscsCss++=++•方程解的拉氏变换为572)72(2)(2000++++=•ssccscsC7课后答案网)(−•−•⋅+−⋅+=解毕。MATLAB符号运算求解（a），rccc=++•••572rRt=⋅1()，0)0(,0)0(==•ccf='2*D2c+7*Dc+5*c=R,c(0)=0,Dc(0)=0';dsolve(f)ans=1/5*R-1/3*R*exp(-t)+2/15*R*exp(-5/2*t)（b），0572=++•••ccc0)0(cc=，0)0(••=ccf='2*D2c+7*Dc+5*c=0,c(0)=c1,Dc(0)=c2';dsolve(f,'t')ans=(5/3*c1+2/3*c2)*exp(-t)+(-2/3*c1-2/3*c2)*exp(-5/2*t)解毕。2－7用运算放大器组成的有源电网络如题图所示，试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。R3+-uiuoR1R2CR3+-uiuoR1R2CR4R5（a）（b）习题2－7题解：（a）应用复数阻抗法，如图所示计算反馈复数阻抗)(111)(222223sIRCsRRCsRRRsUo=⋅+⋅++则反馈复数阻抗为3232)()()(RRCsRRsIsUsZof++==对于反相运算电路，其传输关系为，)()()()()(sZsZsUsUsGifio−==，输入阻抗为，将输入阻抗与反馈阻抗代入上式，得到传递函数为1)(RsZi=)(1)(32321RRCsRRRsG++−=)1(3232132+++−=CsRRRRRRR8课后答案网（b）应用复数阻抗法，计算反馈复数阻抗，由于)(11)1()1()1()1()(33233253325332533254sICsRRRCsRRRRCsRRRRCsRRRRCsRRRRRsUfo=++⋅+++++⋅++++++则反馈复数阻抗为4332325543211))(()()()(RCsRCsRRRRRRRRRsIsUsZfof++++⋅++==输入阻抗为1)(RsZi=，将输入阻抗与反馈阻抗代入上式，得到传递函数为]11))(([)()()()()(1433232515432RRCsRCsRRRRRRRRRRsZsZsUsUsGifio++++⋅++−=−==解毕。2－8力学系统如图所示，试写出系统的微分方程，并求取传递函数。mk1x(t)k2F(t)m2fyom1k1k2yi(a)(b)习题2－8题解：（a）忽略重力，应用牛顿第二定律∑=Fma，写出运动平衡方程为)(21tFFFmakk++=其中，，而xkFk22−=xkFk11−=22dtxda=，均代入平衡方程得)(2122tFxkxkdtxdm+−−=整理，得到微分方程为)()(2122tFxkkdtx