波函数和薛定谔方程

这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱B.一维谐振子C.势垒贯穿（隧道效应）§2.1.物质波的波函数及其统计解释1.波函数：概率波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态)t,z,y,x()t,r(一般表示为复指数函数形式例：一维自由粒子的波函数经典描述：沿x轴匀速直线运动量子描述：确定，守恒；pE,类比：单色平面波,一定沿直线传播以坐标原点为参考点，.0方向传播沿，以速率设xu)(2cos)(cos00xtuxt)(2cos0phxthE)(1cos0xpxEt)(0),(xpEtixetx（取实部）推广：三维自由粒子波函数)(0),(rpEtietr2.波函数的强度——模的平方*||2波函数与其共轭复数的积例：一维自由粒子：)(0)(02*|),(|xptEhixptEixxeetx203.波函数的统计解释光栅衍射电子衍射类比2oEI2||INNhINII大处到达光子数多I小处到达光子数少I=0无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定用I对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点、终点、路径均不确定2||用对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射VNNd||d2VNNtzyxdd*|),,,(|2一般：t时刻,到达空间r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数•t时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比•t时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率•t时刻，粒子在空间分布的概率密度2|),,,(|tzyx的物理意义：物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程，本身，而是有意义的不是2||:||2概率密度，粒子在空间分布的统计规律:概率幅注意：描述同一概率波和在空间各点的比值，的大小，而是重要的不是c22||||遵从叠加原理21212122112212****||||干涉项4、波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为11ddddd||2NNNNVVNNVVV归一化条件对微观客体的数学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾.是单值、有限、连续的标准条件§2.2.、态的迭加原理态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。一、量子态和波函数用波函数Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为。波函数的统计解释也是波粒二项性的一种体现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？2二、量子力学的态的迭加原理1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加原理：衍射图样的产生证实了干涉项的存在。3、态的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态Ψi。4、说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。数学表示式：其中，是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的富叶立展开。zyxppddpdprtpctr)(),(),(rpipe2/3)2(1一维情况：dpetpcdptxtpctxpxip),()2(1),(),(),(21pxietpc2/1)2(1),(说明：1、在态Ψ（r,t）的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态Ψp（r,t），但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的态，只不过未归一化。在态φ=c1φ1+c2φ1进行测量时，发现粒子要么处在φ1，要么处在φ2。§2.3.、薛定谔方程,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。1.建立（简单→复杂，特殊→一般）一维自由粒子的振幅方程tEitEixpixptEiexeeetxxx)(),(0)(0式中：xpixex0)(振幅函数与驻波类比2***2|)(|)()()()(|),(|xxxexextxtEitEitEiextx)(),(要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数Ψ(x）的模方。建立关于振幅函数Ψ(x）的方程——振幅方程)(d)(d0xpiepixxxxpixx)(d)(d2222xpxxx*非相对论考虑自由粒子：mpmvEExx22122kmEpx220U势函数)(d)(d2222xpxxx*代入得0)(2d)(d222xmExx即一维自由粒子的振幅方程2.一维定态薛定谔方程)(2222pkUEmpUmpEEExx)(d)(d2222xpxxx*代入粒子在力场中运动，且势能不随时间变化0)()(2d)(d222xUEmxx即一维定态薛定谔方程得3.三维定态薛定谔方程0)UE(m2zyx222222拉普拉斯算符2222222zyx0),,()(2),,(22zyxUEmzyx即三维定态薛定谔方程),,(zyx振幅函数4.一般形式薛定谔方程),,,(tzyx哈密顿算符Um2Hˆ22tiHˆ)t,z,y,x(]U)zyx(m[)t,z,y,x(ti22222222)t,z,y,x(]Um[)t,z,y,x(ti222求定态问题：一维：三维：0)(2dd222UEmx0)(222UEm体系由N个粒子组成（N1）体系能量为：将能量公式变为算符公式:)t,,r,r(Vm/PEii2122)t,,r,r(Vm/tiiii212225.多粒子体系的薛定谔方程将算符公式同时作用在多粒子波函数Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:)t,,r,r()t,,r,r(V)]t,,r,r(m[)t,,r,r(tiiii21212122212讨论：1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数4.讨论解的物理意义，即求||2，得出粒子在空间的概率分布。薛定谔的另一伟大科学贡献《Whatislife？》薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律（或几率流密度和几率守恒定律）本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。设ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则=几率密度(w)；dV=dV的几率；q=电荷密度(ρ)；qdV=dV的电荷。2222几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。J公式=？先介绍几率的连续方程。一、几率的连续方程与几率流密度类比：已知电荷有连续方程：其中，ρ电荷密度,电流密度。0jtj若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度J，这个方程也就是几率的连续方程。0Atw下面推导这个公式：在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即:032rd)rt(dtd薛定谔方程为:(1)对上述方程取复共轭得(2)**)Vm(ti222)t,r()]r(Vm[)t,r(ti222由式得:)2()1(*02)(mit)()(m)(m)(ti*****222222令J=则有:0)(2)(22*2*mti*)(mi20jt02)(mit)(定义：几率流密度J=得几率的连续方程：)(mi20Jtw二、几率守恒定律对几率的连续方程：两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：0JtwvsdJwdvt表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。三、质量、电荷守恒定律1．mW：质量密度，mJ：质量流密度。质量守恒定律0Jmtmw2．qW：电荷密度，qJ：电流密度。电荷守恒定律0Jqtqw四、波函数标准条件：连续，单值，有限。单值与有限，由波函数的统计含义所定。，连续，由几率的连续方程所确定。另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明：几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。哥廷根：数学与物理结合是哥廷根的一个优良传统.玻恩是代表人物§2.5定态薛定谔方程一．定态薛定谔方程条件：V（r,t）=V(r)，与t无关。用分离变量法,令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：此称定态薛定谔方程)()(tEfttfiEtic