平面向量的数量积(一轮复习)

第3课时平面向量的数量积考试说明1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．平面向量数量积的运算怎么考？考什么？向量的模平面向量的夹角垂直、平行的向量4怎么考？选择题、填空题考什么？范围问题向量垂直、平行向量的夹角向量的模向量数量积的运算3、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy上一个动点，则BABP的取值范围是.4、【2015高考湖南，理8】已知点A，B，C在圆221xy上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为（）.A.6B.7C.8D.9范围问题1、（2013年高考四川卷）在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,且232coscossin()sincos()25ABBABBAC.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若42a,5b,求向量BA在BC方向上的投影.2、（2013年辽宁）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx(I)若.abx求的值；(II)设函数,.fxabfx求的最大值[要点梳理]一、两个向量的夹角基础要点整合定义范围已知两个_____向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的范围是_____，当θ＝______时，两向量共线，当θ＝_____时，两向量垂直，记作a⊥b.非零[0,π]0或ππ2二、平面向量数量积的定义1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积．记作a·b，即a·b＝_____________.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的____________．|a||b|·cosθ投影的乘积3.a在b的方向上的投影为.|a|cosa,b2．向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角．(1)e·a＝a·e.(2)a⊥b⇔a·b＝________．(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________；特殊地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cosθ＝________．(5)|a·b|≤|a|·|b|.0|a||b|－|a||b|3．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：(a＋b)·c＝________．(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．返回目录a·c＋b·c4．平面向量数量积的坐标表示(1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，故a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)设a＝(x，y)，则|a|＝________．(3)若两个非零向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.•例1(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【答案】①±10②0③53题型一平面向量的数量积的运算练习（1）已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(a－2b)·(a＋b)；【答案】12（2）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2，b＝3e1－e2，则ba________．8例2(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________，DE→·DC→的最大值为________．[答案](1)D(2)11总结：1、转化思想平面向量的基本定理，转化为用已知角已知模的向量表示未知向量2、有直角可考虑建系简化问题•探究1求平面向量数量积的步骤是：（1）①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，(2)知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算．(3)利用图形建立直角坐标系，转化为坐标运算转化思想、数形结合题型二：平面向量的模（2）已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝13.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．例3．（1）设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝________.答案3[答案]3变式练习(1)[2014·全国卷]若向量,ab满足：||1a，()aba，(2)abb，则||b（）A．2B.2C．1D.22(2)已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|和|a－3b|.[答案](1)B（先平方，再展开运算）【答案】219，63题型三：平面向量的夹角例4(1)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665(2)[2014·江西卷理]已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．[答案]223【答案】Cbabacos【答案】π3练习（1）已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．（2）（2016年全国III高考）已知向量13(,)22BAuuv,31(,),22BCuuuv则ABC=A(A)300(B)450(C)600(D)1200题型四：平面向量的垂直平行1、（2016年全国II高考）已知向量(1,)(3,2)ama，=，且()abb+，则m=（）D（A）－8（B）－6（C）6（D）82、（2016年山东高考）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cosm，n=13.若n⊥（tm+n），则实数t的值为B（A）4（B）–4（C）94（D）–943、[2014·惠州调研]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x，6)，且p∥q，则|p＋q|的值为()BA.5B.13C．5D．13题型五：平面向量的范围问题1、已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|的范围是________．2、（2016年浙江高考）已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜6,则a·b的最大值是．【答案】123、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线21xy上一个动点，则BABP的取值范围是.【答案】[0,12]4、【2015高考湖南，理8】已知点A，B，C在圆221xy上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为（）【答案】B.A.6B.7C.8D.9课堂总结：向量的夹角向量的模数量积的运算平面向量（先平方，再展开运算）babacoscosbaba、转化为坐标转化思想、数形结合题型六：综合应用1、（2013年高考四川卷）在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,且232coscossin()sincos()25ABBABBAC.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若42a,5b,求向量BA在BC方向上的投影.2、（2013年辽宁）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx(I)若.abx求的值；(II)设函数,.fxabfx求的最大值