分式的基本性质和运算

1第5讲分式的基本性质一、方法与技巧归纳1、分式的定义A、B都是整式，且B≠0，就把A÷B表示成BA的形式.如果B中含有字母，式子BA就叫做分式.2、分式有意义、无意义或等于零的条件（1）分式有意义分式的不等于零；（2）分式无意义分式的等于；（3）分式的值等于零的条件分式的等于零且不等于零.3、分式的基本性质,AAMBBMAAMBBM0,MM为整式AAABBB4、最简分式一个分式的分子和分母没有公因式，这个分式叫做最简分式，也叫既约分式.二、专题剖析专题一：分式与最简分式的判别例题1：（1）在x1，3a，yxx，aab，22xx，1x，)(41yx，)(1bay，yxz22，bababa222中，分式的个数有个.（2）下列分式acb4122，xyyx2)(5，)(322baba，baba2422，2233baba，abba中，最简分式的个数是.2专题二：分式的意义与分式值等于0的条件例题2：当a为何值时，分式)2(5)2(2aaaa有意义？值为零？例题3：当x为何值时，下列分式有意义？（1）11x（2）112xx（3）122xx例题4：若分式1)1)(2(xxx的值为零，则x的取值应为（）A.12xx或B.1xC.1xD.2x【巩固练习】1.能使分式122xxx的值为零的所有x的值是.2.分式xx212中，当____x时，分式没有意义，当____x时，分式的值为零.3.当________________x时，分式8x32x无意义.4.当____x时，23xx无意义，当____x时，这个分式的值为零.5.要使分式11xx的值是0，则x为.6.22456xxx=0，则x为.7.若10abab，试判断11a，11b是否有意义.38.当x取何值时，下列分式的值为零.（1）212xxx（2）34922xxx9.（七中嘉祥）若0)413(3212yyxx，求代数式132123yx的值.专题三：分式的基本性质与约分1.下列等式成立的是（）A.22mnmnB.)0(aamanmnC.)0(aamanmnD.)0(amanamn2.如果把分式xyyx2中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A.扩大3倍B.缩小3倍C.缩小6倍D.不变例题5：不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母的系数都化成整数.（1）yxyx81416131（2）baba06.05.003.02.0例题6：约分.（1）cabbca2321525（2）96922xxx（3）ayaxxyyx2224【巩固练习】1.化简下列分式.（1）22969xxx（2）22211xxx（3）2242156xxxx（4）221620xxx（5）322332xxxxx2.已知20xy，求2222323xxyyxxyy的值.3.已知234xyz，求222xyyzzxxyz的值.4.已知4,3abab，求（1）11ab；（2）baab的值.5.已知113xy，求535xxyyxxyy的值.56.已知2310aa，求2421aaa的值.7.若x为整数，使分式6321xx的值为整数，求x的值.8.试求分式226121022xxxx的最小值.9.若1)1)(3()3(xxxaxa成立，求a的取值.10.化简求值：)1999)(1998(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1xxxxxxxx（其中x=10）6第6讲分式的运算一、方法与技巧归纳分式的运算法则1、分式乘法法则：bdacdcba2、分式的除法法则：bcadcdbadcba3、分式的乘方法则：nnnbaba)(4、同分母分式相加减法则：bcabcba5、异分母分式相加减法则：bdbcadbdaddcba二、专题剖析（一）、化简或计算：（点拨：一般先将分式的分子和分母分解因式，再进行运算．）1．22444122aaaaa２．168422xxxx，其中x=5.３．mnnnmmmnnm2４.21223933mmm５．11111xxxxx６.xxxxxxxx4)44122(227７．222142442xxxxxxxx，其中2210xx8．3,32,1)()2(222222babaabaababaabaa其中９．先化简，再求值：22224421yxyxyxyxyx，其中.1,12yx（二）、待定系数法：已知:22)2(2)2(3xBxAxx，求A、B的值.（三）、裂项和添项法：1、计算：2211132561xxxxx82、已知0,0abcabc，求111111abcbcacab的值.（济南竞赛）（四）、反复利用已知条件：1、已知0abc且abc，求222222222222bcacababcbccaab的值.（太原竞赛）2、已知abcbccaab=0，求证：2220()()()abcbccaab（五）、与整数有关的分式求值：1．已知x为整数，且222218339xxxx为整数，求所有符合条件的x的值.2．设一次函数211nyxnn（n为正整数）的图象与坐标轴围成的三角形的面积为ns（n=1，2，3，…）,试求1232008ssss的值.9分式的计算1、（09湖北）14)1(441222aaaaaa2、（08南充）2292312aaaaaa3、262xx÷4432xxx4、（09成都）22221369xyxyxyxxyy（六）其它情形1、（整数型）已知x为整数，且918232322xxxx也为整数，求所有符合条件的x的值的和.2、（单向型）先化简，再求值：22232232bababbabbaabab，其中5a，25b3、（条件变形型）已知的值求babababa,0622．4、（整体代入型）已知a2＋2a－1＝0，求分式24)44122(22aaaaaaaa的值．5、（倒数型）已知,1011xxx2求1xxx242的值10【名校、名书、中考、竞赛在线】一、选择题:1.（2009培优班）若的值则满足式cbaabccbacba111,8,0,,（）A、正数B、负数C、零D、正数或负数2．（七中）已知122432xBxAxxx，其中A、B为常数，则4A－B的值为（）A、7B、9C、13D、5二、填空题：1.(1)263,____xxx分式时当的值为负；(2)342xx已知分式的值为非负数，x的取值范围为.2.已知312xyz，则222225xyzxyyzzx=.3.（七中）已知:._________,214422是的取值范围则xxxxx4.（四中）若代数式4x3x2x1x有意义，则x的取值范围是.5.（10成外）已知：311ba，则分式babababa232的值为.6.（09成外）已知x为整数，且分式1222xx的值为自然数，则x的值为.三、解答题：1．（09天府前沿）),0(072,0634xyzzyxzyx若求代数式的值222222103225zyxzyx.2．（09乐山）若实数xy、满足26190xxxy．求代数式2211yxyxyxy的值．（要求对代数式先化简，再求值．）3.（08贵州）先化简：224226926aaaaa，再任选一个你喜欢的数代入求值.11第七讲分式方程一、【基础知识精讲】1.分式方程的定义：分母中含有的方程叫分式方程。2.解分式方程的基本思想方法:整式方程分式方程去分母3.解分式方程的一般方法和步骤:(1)去分母,即在方程两边都乘以,把原方程化成。(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.4．分式方程的增根问题：⑴增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根⑵验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看最简公分母是否为0.5.列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审:审清题意.(2)设:设未知数.(3)找:找出相等关系.(4)列:列出分式方程.(5)解:解这个分式方程.(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意.(7)答:写出答案.二、【例题精讲】例1：分式通分六大技巧1、逐步通分2411241111xxxx----+++2、整体通分)225(423aaaa3、分组通分：2m11-m21m22-m14、分解简化通分：4x2x1xx1xxxx222235、裂项相消10099132121111aaaaaaa126、活用乘法公式:1)x1)(xx1)(xx1)(xx1)(xx1)(xx1(x21616884422（）例2：去分母法解分式方程1、113116xxx2、22416222xxxxx3、22412212362xxxxxxx4、64534275xxxxxxxx例3：整体换元与倒数型换元：1、用换元法解分式方程：（1）6151xxxx（2）12221xxxx变式练习：（11上海）用换元法解分式方程13101xxxx时，如果设1xyx，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．230yyB．2310yyC．2310yyD．2310yy例4：分式方程的（增）根的意义1、若分式方程：024122xxa有增根，求a的值。132、（09牡丹江）关于x的分式方程131xxax无解，则a=_________。变式练习：当m为时，分式方程01163xxmxxx有根。例5：列方程解应用题1、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。2、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果再购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元。（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？【能力提升】1、（化积为差，裂项相消）解方程812x12x12x1x1)1x(x1变式练习：化简341651231222xxxxxx