概率论与数理统计第三章

1概率论与数理统计福建师范大学福清分校数计系2第三章多维随机变量及其分布第1讲3§1二维随机变量4在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对这一地区的儿童进行抽查,对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W.在这里,样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童,而H(e),和W(e)是定义在S上的两个随机变量.又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量.5一般,设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量.SeX(e)Y(e)6定义设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数:},{)}(){(),(yYxXPyYxXPyxF记成称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.(x,y)xyO7易知,随机点(X,Y)落在矩形域[x1Xx2,y1Yy2]的概率为P{x1Xx2,y1Yy2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2).(1.1)xyy1y2x1x28分布函数F(x,y)具有的基本性质:1,F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任意固定的y,当x2x1时F(x2,y)F(x1,y);对于任意固定的x,当y2y1时F(x,y2)F(x,y1).2,0F(x,y)1,且对于任意固定的y,F(-,y)=0,对于任意固定的x,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1.3,F(x,y)关于x和关于y都右连续.4,任给(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2,F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)09一.(X,Y)是二维离散型的随机变量如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型的随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj),i,j=1,2,...,记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,则由概率的定义有.1,011ijijijpp10称P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量X和Y的分布律,或随机变量X和Y的联合分布律.也可用表格表示X和Y的联合分布律:YXx1x2...xi...y1p11p21...pi1...y2p12p22...pi2..................yjp1jp2j...pij.....................11例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.解由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律,易知{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4,j取不大于i的正整数,且.,4,3,2,1,141}|{}{},{ijiiiXjYPiXPjYiXP12于是(X,Y)的分布律为.,4,3,2,1,141}|{}{},{ijiiiXjYPiXPjYiXPYX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/1613将(X,Y)看成一个随机点的坐标,则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为)2.1(,),(xxyyijijpyxF其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.补充例题:求例1中随机变量X和Y的联合分布函数.解:由例1所求的随机变量X和Y的联合分布律得随机变量X和Y的联合分布函数为:1401112143328432811422416,43241842441242343444xyxyxyxyxyFXYxyxxyxyxyxy当或当1且当2且1当2且当3且1当3且2当3且y325当且4838当且4845当且481当且15二.(X,Y)是二维连续型的随机变量与一维随机变量相似,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,y有,dd),(),(--yxvuvufyxF则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.16按定义,概率密度f(x,y)具有以下性质:1,f(x,y)0..1dd),(,2--yxyxf)3.1(.dd),(}),{(GyxyxfGYXP3,设G是xOy平面上的区域,点(X,Y)落在G内的概率为4.若f(x,y)在点(x,y)连续,则有).,(),(2yxfyxyxF17由性质4,在f(x,y)的连续点处有).,(),()],()Δ,(),Δ()Δ,Δ([ΔΔ1limΔΔ}Δ,Δ{lim20Δ0Δ0Δ0ΔyxfyxyxFyxFyyxFyxxFyyxxFyxyxyyYyxxXxPyxyx--18这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续,则当Dx,Dy很小时P{xXx+Dx,yYy+Dy}f(x,y)DxDy,即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概率近似等于f(x,y)DxDy.在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面,由性质2知,介于它和xOy平面的空间区域的体积为1,由性质3,P{(X,Y)G}的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积.19例2设二维随机变量(X,Y)具有概率密度-.,0,0,0,e2),()2(其它yxyxfyx---.,00,0,dde2dd),(),(00)2(其它yxyxyxyxfyxFyxyxyx(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{YX}.解(1)20(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有{YX}={(X,Y)G},其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分,于是----.,0,0,0),1)(1(),(2其它即有yxeeyxFyx.31dde2dd),(}),{(}{0)2(-yyxGyxyxyxfGYXPXYP21xyOG22以上关于二维随机变量的讨论,不难推广到n(n2)维随机变量的情况.一般,设E是一个随机变量,它的样本空间是S={e},设X1=X1(e),X2=X2(e),...,Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个n维随机向量(X1,X2,...,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.任给n个实数x1,x2,...,xn,n元函数F(x1,x2,...,xn)=P{X1x1,X2x2,...,Xnxn}称为n维随机变量(X1,X2,...,Xn}的分布函数或联合分布函数.它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.23§2边缘分布24二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而X和Y都是随机变量,分别也有分布函数,将它们分别记为FX(x),FY(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y)所确定,事实上,FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y}=F(x,),即FX(x)=F(x,).(2.1)同理FY(y)=F(,y).(2.2)25一.(X,Y)是二维离散型的随机变量对于离散型随机变量,由(1.2),(2.1)式可得.),()(1xxjijXipxFxF,2,1,}{1ipxXPjiji与第二章(3.2)式比较,知道X的分布律为同样,Y的分布律为1{},1,2,jijiPYypj26记,,2,1},{,2,1},{11jyYPppixXPppjiijjijiji分别称pi(i=1,2,...)和pj(j=1,2,...)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律(注意,记号pi中的是由pij关于j求和后得到的;同样,pj是由pij关于i求和后得到的).27二.(X,Y)是二维连续型的随机变量对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密度为f(x,y),由于,dd),(),()(--xXxyyxfxFxF)3.2(d),()(-yyxfxfX由第二章(4.1)式知道,X是一个连续型随机变量,且其概率密度为同样,Y也是一个连续型随机变量,其概率密度为()(,)d(2.4)Yfyfxyx-称fX(x),fY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度28例1一整数N等可能地在1,2,3,...,10十个值中取一个值.设D=D(N)是能整除N的正整数的个数,F=F(N)是能整除N的素数的个数(注意1不是素数),试写出D和F的联合分布律及边缘分布律.解先将试验的样本空间及D,F取值的情况列如如下:样本点12345678910D1223242434F011112111229D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示:样本点12345678910D1223242434F0111121112FD1234P{F=j}01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10P{D=i}1/104/102/103/10130例2设随机变量X和Y具有联合概率密度).(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYX求边缘概率密度其它xyOy=x2y=x31解----.,0,10),(6d6d),()(.0,10),(6d6d),()(22其它其它yyyxxyxfyfxxxyyyxfxfyyYxxXxyOy=x2y=x32例3二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,,)())((2)()1(21exp1π21),(2222212121212221----------yxyyxxyxf其中1,2,1,2,都是常数,且10,20,||1.称(X,Y)为服从参数1,2,1,2,的二维正态分布,记为(X,Y)~N(1,2,12,22,).试求二维正态随机变量的边缘概率密度.33解,)())((2)(,d),()(212122112221212222----------xxyyxyyyxfxfX由于.dee121)(2112222121)1(212)(221---------yxfxyxX于是34.,21)(.21)(,d21)(,1122222121221212)(22)(12/2)(111222--------------yeyfxexfteexfxytyYxXtxX同理即则有令35由此我们得知:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数.也就是说,对于给定的1,2,1,2,不同的对应不同的二维正态分布,它们的边缘分布都是一样的.这一事实表明,单由关于X和Y的边缘分布,一般来说是不能确定随机变量X和Y的联合分布的.36§3条件分布37一.(X,Y)是二维离散型随机变量设(X,Y)是二维离散型随机