第二讲--证明不等式的基本方法

第1页共42页第二讲证明不等式的基本方法第2页共42页回归课本第3页共42页1.比较法(1)比差法的依据是:a-b0⇔ab.步骤是:作差→变形→判断差的符号.变形是手段,变形的目的是判断差的符号,常用的变形方法有:配方法､通分､因式分解等,变形到可判断符号为止.(2)比商法:若B0,欲证A≥B,只需证≥1,其步骤是:作商→变形→判断商值与1的大小.AB第4页共42页2.直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法①定义:利用已知条件和某些数学定义､公理､定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.②框图表示:第5页共42页(2)分析法①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件､定理､定义､公理等)为止.②框图表示:第6页共42页3.反证法的证明步骤第一步作出与所证不等式相反的假设;第二步从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以利化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立,这种方法称为放缩法.第7页共42页考点陪练1.已知a0,-1b0,则()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案:D第8页共42页2.要证明下列证明方法中,最为合理的是()A.综合法B.归纳法C.分析法D.反证法答案:C3725,第9页共42页3.已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证a0,b0,c0时的反设为()A.a0,b0,c0B.a≤0,b0,c0C.a、b、c不全是正数D.abc0答案:C第10页共42页22(21)2121(21).4.ab0,,abab1,();A.ab2B.abC.abD.ab2:abab1,1abababtt0,1tt2(0).4(212,a)(21).b2abtt设、且则有≥≤解析≥≤≤令则≤解得≥则≥答案:A第11页共42页5.a,b,x,y,,xy,______.11__abxyxayb已知均为正实数且则与的大小关系为第12页共42页ba0,xy0,bx:.()()110,0,()(a)y,.xybxayxaybxaybabbxayxaybxyxayb解析由得又所以所以所以:xyxayb答案第13页共42页类型一用比较法证明不等式解题准备:比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式,当差是二次三项式时,有时亦可用判别式来判断符号.第14页共42页2221a,b,0n1,0m1,mn().1,:ababmn【典例】设为实数求证≥22222222222222222(2)()(1)(1)2[]2()0, ab.abnambnmaabbabmnmnmnnammbnmnabnambmnabmnmnnambmnabmn证明≥≥不等式≥成立第15页共42页类型二用综合法证明不等式解题准备:利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(1)a2≥0;(2)|a|≥0;(3)a2+b2≥2ab;它的变形形式有a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;第16页共42页2222221;;222abab(4)2ab0;2;2ab0.abababababbaabba≥≥≥它的变形有≤≥形式第17页共42页2222222ab0,,ab1,: 2ab111(1)8;1;211(3)8;1125(4).2ababababab【典例】已知、且求证≥≥≥≤第18页共42页111(0,),2111 []?()ab,ab14ab,..2 b4[]`aabababababababab分析以上四个不等式的左边都含有或隐含有或因此只要利用得出及的范围就能够证出以上四个不等式≤证明由≥得≤≥第19页共42页22222111111()2124448,121ab,. 2abab2ab12a1118.11,4b121.2a 2bababababababababab≥当且仅当时等号成立≥≥≥第20页共42页222222222222 3ab=,. 112182118.1111125448423,a,221211b5.2,.2ababababababababab当且仅当时等号成立≥由､的结论知≥当且仅当时等号成立≥≥≥第21页共42页[反思感悟]综合法一般是分析法的逆过程,表述简单,条理清晰,所以在解决具体问题时,常把分析法和综合法结合起来使用.第22页共42页类型三用分析法证明不等式解题准备:用分析法证“若A则B”形式的命题的模式是:为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有…….只需证明命题B2为真,从而有…….……只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必真.第23页共42页222222223abc,abc0,: []bac3a,abc0,baab3a,2aabb0,ab2ab0,abac0.abc,ab0,ac0.abac3.30,,,.bacabaca【典例】已知且求证证明要证只需证只需证只需证只需证只需证显然成立故原不等式成立第24页共42页[反思感悟]分析法与综合法常常联合使用,实际上是以分析法为主,借助综合法,使证明的问题明朗化,此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既充分利用已知条件,又时刻不忘解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要搞清干什么.兼顾条件与结论,便于找到解题途径.第25页共42页类型四用放缩法证明不等式解题准备:放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性.缩小分母､扩大分子,分式值增大;缩小分子､扩大分母,分式值减小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和.第26页共42页2223111111221234: n2,nN.nnn【典例】求证[分析]欲证的式子中间是一个和的形式,但我们还不能利用求和公式或其他办法求,可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式,进而求和.第27页共42页222222111.(1)(1)11111,1111111;23221111111 []kk1kk111;;k1,k32,k4323,1n12,3,kkkkkkkkkknnnnn证明≥即分别令得第28页共42页2222222221111233411111111112322311111111,1,1212331111112.212:3nnnnnnnnnnn将上述不等式相加得即第29页共42页[反思感悟]利用放缩法证明不等式,就是舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子､分母,还可把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.第30页共42页错源一重要不等式使用不当致误1a,b,cR,a3131b.31,1cabc【典例】已知且求的最大值第31页共42页[剖析]解本题时既可以通过对所求式平方后使用均值不等式,也可以直接使用柯西不等式.在使用均值不等式时可能错误地使用三个正数的均值不等式,对已知式进行立方;在使用柯西不等式时,用错柯西不等式或是构造柯西不等式使用形式时出现错误,如把柯西不等式其中一端的平方漏掉等.第32页共42页2(313131)3131231312313131313132,(31 []:(3a1)3b1(3c1)2(3a1)3b1(3c1)[(3a1)3b13b1(3c1)(3a1)(3c1)]3[(3a1)3b1(3c311)]18abcabbcacabcab正解解法一用均值不等式≤所以31)32.maxc第33页共42页222222222(313131)(131131131)[(31)(31)(31):1113?3abc3.abc1,](313131)18,3131.33132,2abcabcabcabcabc解法二用柯西不等式≤又所以≤所以≤即所求的最大值为第34页共42页12 [].:naaan评析重要不等式均值不等式≥\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}(a10,a20,…,an0),当且仅当a1=a2=…=an时等号成立;柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(aibi∈R,i=1,2,…,n),当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=kai时(k为常数,i=1,2,…,n)等号成立.这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数值的有力工具,使用时要注意等号成立的条件.使用柯西不等式的重要技巧就是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件.第35页共42页错源二忽视柯西不等式中等号成立的条件【典例2】已知x≤0,且满足3x+4y=13,求x2+4y2的最小值.[错解]由柯西不等式可知:(32+22)[x2+(2y)2]≥(3x+4y)2=169.∴13(x2+4y)2≥169.∴x2+4y2≥13.∴x2+4y2的最小值为13.第36页共42页[剖析]本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件.事实上等号成立需满足三点:①x≤0;②3x+4y=13;③3×2y=2x,即x=3y.解②③得x=3,显然不满足x≤0.第37页共42页22222222222in22m2 []3x4y13,2yx4yx2yx x6x13x34x313.x133,213321313130,x0,x4y031444313169.4416x4y9.4xx正解又当时的最小值为第38页共42页技法均值不等式法222211163a,b,c,:abca,b,c,,.abc【典例】已知均为正数证明≥并确定为何值时等号成立第39页共42页2313223222232223221113( []:a,b,c,abc3abc,),1119()1113()9(abc)abcabcabcabcabcabcabc解解法一因为均为正数由均值不等式得≥①≥所以≥②故≥第40页共42页22332233143()9()227633()9()3,.abc,.,.abc,.abcabcabcabc又≥③所以原不等式成立当且仅当时①式和②式等号成立当且仅当时③式等号成立即当且仅当时原式等号成立第41页共42页解法