验算点法1

验算点法在工程结构可靠度编程中的运用（北京航空航天大学交通科学与工程学院，北京，100191）摘要：用验算点法对可靠度编程中的关键问题进行了探讨并给出了解决方法。这些问题主要包括随机变量服从正态分布的情形且功能函数为非线性和随机变量不服从正态分布时的当量正态化方法。针对这两种情况运用了两个编程算例来说明验算点法在可靠度分析中的运用。关键字：验算点法、可靠指标、正态分布函数、非正态随机变量、当量正态化1.前言结构可靠度为结构在规定的时间内和规定的条件下完成预定功能的概率。结构可靠性理论的研究，起源于对结构设计、施工和使用过程中存在的不确定性的认识，以及结构设计风险决策理论中计算结构失效概率的需要。结构可靠度计算方法有一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法及其他方法。一次二阶矩方法又分为中心点法和验算点法，其中验算点法是目前可靠度分析中最常用的方法。由于这两种方法都是将非线性功能函数作为一次泰勒级数展开，并使用了随机变量的平均值（一阶矩）和方差（二阶矩），故称为一次二阶矩方法。利用验算点法计算结构的可靠指标时，需要预先知道验算点的坐标值，而对于非线性结构功能函数和非正态随机变量的情形，验算点坐标值是不能预先求得的，因此一般需要迭代求解。2.随机变量服从正态分布的情形2.1功能函数为线性函数功能函数随机变量Z是一个正态随机变量，其概率密度函数和U的密度曲线如图1示图1一个随机变量时的可靠指标（左图为正态随机变量，右图为标准正态随机变量）假定存在n个相互独立的随机变量，12,,...,nXXX，其均值为12,,...,nXXX，标准差为12,,...,nXXX结构功能函数为：niiixXaagZ10n321...XX,X,X（1）OZfzZZZuO其中niai...3,2,1为常数将随机变量niXi...3,2,1变换为标准正态随机变量niYi...3,2,1niXYiiXXii...3,2,1（2）则由（1）表示的功能函数表示成123n00111Y,Y,Y...YiiiinnnYiXXiiXiXiiiZgaaYaaaY从而功能函数的平均值和标准差表示为niXiZiaa10niXiZia122按照严格的可靠度指标定义niXiniXiZZiiaaa12210（3）可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系fP对极限状态方程0110niXiniXiYaaaZii两端同时除以niXiia122得到：0122101221niXiniXiniXiniXiiiiiaaaaYa（4）与公式（3）比较，有01221niXiniXiiiaYa（5）令niaaniXiXiYYiiii,...3,2,1cos122公式（5）可以写成：0cos11niiYniYYYii（6）公式（6）表示的是一法线式的直线方程，iYcos为法线与坐标轴夹角余弦1cos1niYi图2可靠度指标的几何意义及验算点验算点在Y空间（标准正态空间）表示为：**3*2*1*...,,nyyyyy在X空间表示为：**3*2*1*...,,nxxxxx两者之间的关系为：niyxiXXiii,...3,2,1**根据几何关系有：niyiiYYi,...3,2,1cos*在X空间，验算点坐标值：nixiiiiiiYXXYXXi,...3,2,1cos*通常表示为：nixiiiiiiXXXXXXi,...3,2,1cos*2.2功能函数为线性函数假定随机变量12,,...,nXXX服从正态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，这时精确求解Z的平均值和标准差是非常困然的。同结构功能函数为非线性的情形一样，如果将可靠指标定义为标准正态坐标系中坐标原点到极限状态曲面的距离，垂足为验算点，则不管结构极限状态方程的数学表达形式如何，只要具有相同的力学或物理含义，在标准正态坐标系中，所表示的都将是同一个曲面，曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个。因2cosY1cosY2*1*,yyO21,yy1Y2Y而，所得到的可靠指标是唯一的，不像中心点法那样，随结构极限状态方程数学表达式的形式而变。图3验算点取法如果验算点已知**3*2*1*...,,nxxxxx可以在该点一次项展开：*1***3*2*1...,,iiniiXnXLxXXgxxxxgZx其均值和标准差为：*1***3*2*1*1***3*2*1...,,...,,iXniiXnXiiniiXnXLZxXgxxxxgxEXXgxxxxgEZiLxxniXiXniiiiinjjXiXLLZiLXgEXXEXXEXgXgEZZE12*11**xxx所以可靠度指标：2*1*,yyO1Y2YniXiXiXniiXnXZZiiLLXgxXgxxxxg12**1***3*2*1...,,xx实际上验算点不可知，需要补充条件：nixiiiXXXi,...3,2,1cos*对比表达式得到：niXgXgnjXjXXiXXjii..3,2,1cos12**xx2.3编程算例假定结构功能函数为1212X,X1000XZgXX。随机变量12,XX的平均值和标准差分别为138X，13.8X，254X，25.4X，均服从正态分布。用验算点法就算可靠指标和失效概率fP，允许误差取3102.3.1算法分析1）假定验算点，一般取12*(0),,...,nXXXx所以1*(0)138Xx，2*(0)254Xx2）计算******12312*1,,...iLLinXXnXiZiiZnXXiiggxxxxxXgXxx功能函数对12,XX的一阶偏导数为**21XgxXx，**12XgxXx所以2112********121212122222****21211000543810003.85.4XXXXxxxxxxxxxxxx3）计算12cos,cosXX1112***2222222*****212113.8cos3.85.4ijXXXiXnXXXXjjgxXxxxxxgXxx2212***1122222*****212115.4cos3.85.4ijXXXiXnXXXXjjgxXxxxxxgXxx4）重新计算验算点nixiiiXXXi,...3,2,1cos*则111*1cosXXXx，222*2cosXXXx5）若*(1)*(0)11xx，为规定的允许误差，则停止迭代，所求即为要求的可靠指标；否则，取*(0)*(1)11xx，转2）继续迭代，当验算点误差小于，结束。2.3.2源程序#includeiostream#includecmathusingnamespacestd;//example3-4doubleBeta(double&x1,double&x2);doubleCosOx1(double&x1,double&x2);doubleCosOx2(double&x1,double&x2);doubleX1=38.0;doubleX2=54.0;doublee=1.0e-3;doubleBeta(double&x1,double&x2){return(54.0*x1+38.0*x2-x1*x2-1000.0)/sqrt(pow(3.8*x2,2)+pow(5.4*x1,2));}doubleCosOx1(double&x1,double&x2){return-3.8*x2/sqrt(pow(3.8*x2,2)+pow(5.4*x1,2));}doubleCosOx2(double&x1,double&x2){return-5.4*x1/sqrt(pow(3.8*x2,2)+pow(5.4*x1,2));}intmain(){doublex1=X1;doublex2=X2;doublebeta;doublefai;inti=0;do{i++;X1=x1;X2=x2;beta=Beta(X1,X2);x1=38.0+3.8*beta*CosOx1(X1,X2);x2=54.0+5.4*beta*CosOx2(X1,X2);}while(sqrt(pow(x1-X1,2)+pow(x2-X2,2))e);coutExample3-4'\n'共i次迭代'\n'β=beta'\n'x1=x1'\n'x2=x2'\n'endl;return0;}2.3.3运行结果分析3.随机变量不服从正态分布的情形3.1当量正态化在实际工程中，许多随机变量并不一定服从正态分布，如有的变量服从对数正态分布，有的服从极值I型分布。这样，需要研究随机变量不服从正态分布时的可靠指标计算方法。所谓当量正态化，就是将不服从正态分布的随机变量iX等效为正态随机变量'iX，当量正态化的条件是，在验算点处使得非正态随机变量iX的概率分布函数值与当量正态随机变量'iX的概率分布函数值相等，iX的概率密度函数值与'iX的概率密度函数值相等，用公式表示为：''*'**iiiiiXiiXXxxFxFx（7）'''*'**1iiiiiiXiiXXXxxfxfx（8）由公式（7）（8）可解得：''*1*iiiiXiXXxFx（9）'1**iiiXiXXiFxfx（10）当量正态化后：''******12312*1,,...iinXXniXiinXXiiggxxxxxXgXxx'''*2*1cosiijXXiXnXXjjgXgXxxnixiiiXXXi,...3,2,1cos*3.2编程算例某钢筋混凝土梁，计算跨度05.65lm，假定均布荷载q的平均值119.71.SKNm，标准差23.94.SKNm，服从极值I型分布；R服从对数正态分布，284.577.RKNm变异系数0.082.RKNm。用当量正态化方法求梁的可靠指标和失效概率3.2.1算法分析1）假定验算点，一般取12*(0),,...,nXXXx取*(0)Rr，*(0)Ss2）计算'iX，'iX对于服从对数正态分布的情况，由式（7）得：''**lnlnlnlnlniiiiiiXXXXxx即''**lnlnlnlnlniiiiiiXXXXxx（11）由式（8）可得：'''**lnln*lnlnlnlnln1122iiiiiiiiXXXXiXXxxx（12）将