5.5--定轴转动刚体的角动量守恒

第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律15.5对定轴的角动量守恒定律第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律2一、质点系的角动量定理质点系的角动量定理的微分形式：dtLdMMii外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的积分形式：000LLLddtMLLtt质点系所受的冲量矩质点系的角动量增量某给定参考点内力矩成对相消，矢量和为零。内内外外d第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律3若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。可得：质点系的角动量守恒定律：000LLLddtMLLtt由质点系的角动量定理的积分形式：若：0M则：0LL或：恒矢量L当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律4二、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律1、刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2vOirimivJLz(所有质元的动量矩之和)质点对点的角动量：作圆周运动的质点的角动量：vmrprLωmrθυrmL2sin强调：对于刚体的定轴转动，只能用角动量来描述，而不能用动量来描述。第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律52、刚体定轴转动的角动量定理dtLddtJ(ddtdJMzz)由转动定律：)(zzLdJdtdM122121JJJddtMttz（角动量定理的积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于其角动量的增量。（角动量定理的微分形式）第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律6tJrmii2非刚体定轴转动的角动量定理：112221JJtdMtt说明：当变形体绕某轴转动时，若其上各点（质元）转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量为：刚体定轴转动的角动量定理：1221JJdtMttz（J不变）（J变）第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律7角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。内力矩不改变系统的角动量。刚体定轴转动的角动量定理1221JJtdMtt三、刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量ωJL，则若外内MM在冲击等问题中L常量当刚体受到的合外力矩为0时，其角动量保持不变。讨论第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律8说明1）刚体定轴转动的角动量守恒条件：,0M合外力矩当合外力不为0时，合外力矩可以为0。FFFO当合外力为0时，合外力矩不一定为0；2）角动量守恒的两种情况：若不变，不变；若变，也变，但不变。JJLJ①②第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律9即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。①定轴转动的刚体，不变，J若0izM则恒量ωJL不变，ω大小方向都不变。比如：可用在飞机、火箭、轮船上的定向装置，其转轴的方向始终不变。角动量守恒的两种情况：例如：地球所受的力矩近似为零，因而角动量守恒，其转轴总是指向同一方向，即指向北极星。地球自转轴的方向与公转平面的垂线成23˚27′角。地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律10就增大，减小时，当就减小；增大时，当ωJωJ②定轴转动的非刚性物体，转动惯量可变，如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。2211ωJωJ角动量守恒，则有：保持不变从而ωJ第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律11②定轴转动的非刚性物体，，ωJωJ2211ωJωJ即第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律12张臂先使自己转动起来收臂大小大小第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律133）物体系的角动量守恒若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为…，332211,,ωJωJωJ则总角动量为：，iiωJ比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统的总角动量守恒，即：iiJ恒量第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律14例如：直升飞机在未发动前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况，人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼，由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似，鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进，也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪（也叫“陀螺”）的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律15万向支架基座回转体（转动惯量）回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。合外力矩为零，角动量守恒。恒矢量其中转动惯量为常量。若将回转体转轴指向任一方向，使其以角速度高速旋转，则转轴将保持该方向不变，而不会受基座改向的影响。回转仪定向原理第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律16直升飞机防止机身旋动的措施：用尾浆或用两个对转的顶浆第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律17直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律18第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律19自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律20o1o2例：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时臂长为l1，收臂时臂长为l2。人站在不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量为m的哑铃。伸臂时转动角速度为1，求：收臂时的角速度2。解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，2211ωJωJ,22101mlJJ22022mlJJ2112JωJω转动惯量减小，角速度增加。第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律21例：匀质圆盘（M、R）与人（m，视为质点）一起以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。当此人从盘的边缘走到盘心时，求：圆盘的角速度是多少？解：系统（圆盘+人）什么量守恒？omRMR)21(22221MRoMm)21(o系统角动量守恒：第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律22解：两飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒。1J2J12ωJJωJωJ)(212211212211JJωJωJω共同角速度：例：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为1、2，求：两飞轮啮合后共同的角速度。第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律23解：1）杆+子弹：竖直位置，外力（轴O处的力和重力）均不产生力矩，])32(31[3222lmMllmo解得：)43(6mMlmo例：长为l、质量为M的匀质杆，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，OA=2l/3，求：1）子弹射入后瞬间杆的角速度；2）杆能转过的最大角度。故碰撞过程中角动量守恒：moOA32l系统的动量守恒吗？第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律24222])32(31[21lmMl)lmglMg]()l(mMl[)lm(coso322323123212222）杆在转动过程，机械能守恒：2lMg)mMlmo43(6由前：221JEk转动动能cos32-cos2lmglMg零势面3l2mgmoOA32l第5章刚体的定轴转动5.5角动量守恒定律25解：碰撞过程角动量守恒:例：长为2L、质量为m的匀质细杆，静止在光滑的水平桌面上。两个质量、速率均为m和的小球，在水平面内与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。求：两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？2Lm)2(2mLJ2231)2(121mLLmJmm.O解得L76