2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)

第1页（共19页）2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是．2．（5分）若复数z＝1+i，则＝．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．5．（5分）函数f（x）＝+的定义域是6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数y＝f（x）+x是偶函数，且f（3）＝1，则f（﹣3）＝．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为．9．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝．10．（5分）若直线l1：xcosθ+2y＝0与直线l2：3x+ysinθ+3＝0垂直，则sin2θ＝．11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P﹣ABCD侧面积为．第2页（共19页）12．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+m＝0与圆C2：（x+3）2+（y+3）2＝36内切，且圆C1的半径小于6，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8＝0距离的最大值为．13．（5分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．14．（5分）已知a，b∈R，f（x）＝ex﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB＝bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．第3页（共19页）17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T．（1）试将T表示为θ的函数T（θ），并写出定义域；（2）当θ满足什么条件时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△ABO的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．19．（16分）己知数列{an}中，an＞0，Sn是数列{an}的前n项和，且an+．（1）求S2，S3，并求数列{an}的通项公式an；（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若2﹣k≥0对任意的正整数n都成立，求实数k的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+2ax（a∈R），g（x）＝x2+1﹣2f（x）（1）当a＝﹣1时，①求函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；②比较f（m）与的大小；（2）当a＞0时，若对∀x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：．【选做题】（在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]第4页（共19页）21．（10分）已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l过点A（），B（3，0），且直线l与曲线C：ρ＝acosθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且．（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，kOA•kOB＝﹣2且△OAB的面积为16，求l的方程．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an，数列{an}的前n和为Sn．记Sn是3的倍数的概率为P（n）．（1）求P（1），P（2）；（2）求P（n）．第5页（共19页）2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是．【解答】解：因为A⊇B∴B≠∅，∴，解得故答案为：2．（5分）若复数z＝1+i，则＝﹣1．【解答】解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为35．【解答】解：理科生人数占的比例为＝，则应抽取的理科生人数为为50×＝35人，故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20．第6页（共19页）【解答】解：赋值a＝5，S＝1，判断a＝5≥4成立，执行S＝1×5＝5，a＝a﹣1＝5﹣1＝4，判断a＝4≥4成立，执行S＝5×4＝20，a＝a﹣1＝4﹣1＝3，判断a＝3≥4不成立，算法结束，输出S＝20．故答案为：20．5．（5分）函数f（x）＝+的定义域是{x|x≥1且x≠5}【解答】解：要使函数有意义，则得，即x≥1且x≠5，即函数的定义域为{x|x≥1且x≠5}，故答案为：{x|x≥1且x≠5}6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数n＝3×3＝9，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数m＝2×2＝4，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为p＝＝．故答案为：．7．（5分）已知函数y＝f（x）+x是偶函数，且f（3）＝1，则f（﹣3）＝7．【解答】解：∵函数y＝f（x）+x是偶函数，∴f（﹣x）﹣x＝f（x）+x，即f（﹣x）＝f（x）+2x，第7页（共19页）∵f（3）＝1，∴f（﹣3）＝f（3）+2×3＝1+6＝7，故答案为：7．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．【解答】解：由双曲线，得a2＝5，b2＝4，则，则双曲线的左焦点为（﹣3，0），抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则，p＝6．故答案为：6．9．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝49．【解答】解：∵a2+a6＝a1+a7∴故答案是4910．（5分）若直线l1：xcosθ+2y＝0与直线l2：3x+ysinθ+3＝0垂直，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵直线l1：xcosθ+2y＝0与直线l2：3x+ysinθ+3＝0垂直，∴3cosθ+2sinθ＝0，∴cosθ＝﹣，∴sin2θ+cos2θ＝＝，解得sinθ＝，cosθ＝﹣或sinθ＝﹣，cosθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣2×＝﹣．故答案为：﹣．11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P﹣ABCD侧面积为．第8页（共19页）【解答】解：∵圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r，则高为2r，母线长l＝＝r，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝＝π，解得r＝，l＝＝，∵正方形ABCD内接于底面圆O，∴AB＝，∴四棱锥P﹣ABCD侧面积为：S＝4S△PAB＝4×＝2××＝6r2＝6×＝．故答案为：．12．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+m＝0与圆C2：（x+3）2+（y+3）2＝36内切，且圆C1的半径小于6，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8＝0距离的最大值为2．【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x+m＝0化为标准方程为（x﹣1）2+y2＝1﹣m，其圆心为（1，0），半径r＝，|C1C2|＝＝5，又由圆C1与圆C2内切，且圆C1的半径小于6，则有6﹣＝5，解可得m＝0，圆心C1（1，0）到5x+12y+8＝0的距离d＝＝1，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8＝0距离的最大值为1+1＝2；第9页（共19页）故答案为：2．13．（5分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【解答】解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．14．（5分）已知a，b∈R，f（x）＝ex﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【解答】解：∵f（x）＝ex﹣ax+b，∴f′（x）＝ex﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，第10页（共19页）当a＞0时，令f′（x）＝ex﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB＝bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理，得∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC．…（2分）∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，…（4分）∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB＝．又∵0＜B＜π，∴B＝．…（6分）第11页（共19页）（Ⅱ）由正弦定理，得b＝＝．…（8分）∵A＝，B＝，∴C＝，∴sinC＝sin＝sin（+）＝sincos+cossin＝．…（11分）∴S＝＝＝．…（13分）16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．【解答】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，∴AB∥A1B1，又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C．（2）由（1）证明同理可知AC＝A1C1，BC＝B1C1，∵AB＝BC，∴