正弦定理与余弦定理

1正弦定理与余弦定理一、三角形中的各种关系设ABC的三边分别是,,abc，与之对应的三个角分别是,,ABC.则有如下关系：1、三内角关系三角形中三内角之和为（三角形内角和定理），即ABC，；2、边与边的关系三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即,,abcacbbca；,,abcacbbca；3、边与角的关系（1）正弦定理三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即2sinsinsinabcRABC（这里，R为ABC外接圆的半径）.注1：（I）正弦定理的证明：在ABC中，设,,BCaACbABc,证明：2sinsinsinabcRABC（这里，R为ABC外接圆的半径）证：法一（平面几何法）：在ABC中，作CHAB，垂足为H则在RtAHC中，sinCHAAC；在RtBHC中，sinCHBBCsin,sinCHbACHaBsinsinbAaB即sinsinabAB2同理可证：sinsinbcBC于是有sinsinsinabcABC作ABC的外接圆⊙O，设其半径为R连接BO并延长，则可得到⊙O的直径BD，连接DA因为在圆中，直径所对的圆周角是直角所以90oDAB于是在RtDAB中，sin2ABcDBDR又因为在同一圆中，同弧所对的圆周角相等所以DC2sinsin2cccRcCDR故2sinsinsinabcRABC（这里，R为ABC外接圆的半径）法二（平面向量法）（Ⅱ）正弦定理的意义：正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系.（Ⅲ）正弦定理适用的范围：3（i）已知三角形的两角及一边，解三角形；（ii）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形；（iii）运用::sin:sin:sinabcABC解决角之间的转换关系.注2：正弦定理的一些变式：（i）::sin:sin:sinabcABC；（ii）sin,sin,sin222abcABCRRR；（iii）2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC.注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理解该三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解是不确定的，此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角，大角对大边”定理及三角形内角和定理解决问题.例1.ABC中，,ab分别为角,AB的对边，若60,75,8ooBCa，则b=＿.例2.ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，,3,13Aab，则c＿.例3.在ABC中，3,60,1obBc，求a和,.AC例4.在ABC中，已知2,2,223BABCAB,则A＿.例5.已知ABC中，角,AB所对的边分别是,ab，若coscosaBbA,则ABC一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形（2）余弦定理4三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.注1：（I）余弦定理的证明：法一（平面几何法）在ABC中，作CHAB，垂足为H则在RtAHC中，sinCHCHAACb；cosAHAHAACbsin,cosCHbAAHbAcosBHABAHcbA在RtCHB中，由勾股定理有222BCCHBH于是有22222222222222(sin)(cos)sin2coscos(sincos)2cos2cosabAcbAbAcbcAbAbAAcbcAbcbcA同理可证：2222cosbcacaB，2222coscababC.法二（平面向量法）（Ⅱ）余弦定理的意义：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。（Ⅲ）余弦定理适用的范围：5（ⅰ）已知三角形的三条边，可求出其三个内角；（ⅱ）已知三角形的两条边及它们之间的夹角，可求出其第三条边；（ⅲ）已知三角形的两条边及其中一条边所对应的角，可求出其另两个角及第三条边.注2：余弦定理的变式：222cos2bcaAbc；222cos2cabBca；222cos2abcCab;注3：常选用余弦定理判定三角形的形状；注4：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.例1.在ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.例2.如下图所示，在四边形ABCD中，已知,10ADCDAD,14AB，60OBDA，135OBCD,求BC的长.例3.在ABC中，已知75,4,cos()8BCACAB，则cosC()A.1116B.916C.716D.316（3）面积公式：（i）常规方法：12ABCaSah；（ii）三角函数法：111sinsinsin222ABCSabCacBbcA；6（iii）海伦公式：()()()ABCSppapbpcrp.这里，ah为边a的高线；p为ABC周长的一半，即2abcp；r为ABC内切圆的半径.例1.在ABC中，若已知三边为连续的正整数，且最大角为钝角.（1）求该最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.（参考数据：cos710.25o）例2.在ABC中，内角,,ABC对应的边分别是,,abc，已知2222acb.(1)若4B，且A为钝角，求内角A与C的大小；（2）若2b，求ABC面积的最大值.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由三角形内角和定理：ABC，有()ABC由此可得到：sinsin()ABC,coscos()ABC；又222ABC，于是得到：sincos22ABC，cossin22ABC.三、三角形的度量问题：即所谓的求边、角、周长、面积、圆半径等问题7（1）求角角边的适用定理是正弦定理；（2）求边边角的适用定理是正弦定理或余弦定理；（3）求边边边、边角边的适用定理是余弦定理.注：在解决“边边角”(,,)abA类型的题目时，若利用正弦定理求角，则应判定三角形的个数：假定：90oA，①若ab，则有一解；②若ab，则当sinabA时，有两解；当sinabA时，有一解；当sinabA时，无解；假定：90oA，①若ab，则有一解；②ab，则无解.四、三角形形状的判定方法（1）角的判定；（2）边的判定；（3）综合判定；（4）余弦定理判定.注：余弦定理判定法：若c是ABC的最大边，则：①222abcABC是锐角三角形；8②222abcABC是钝角三角形；③222abcABC是直角三角形.注：关于锐角三角形有以下等价结论：三角形是锐角三角形三内角都是锐角任意两角和都是钝角三内角的余弦值均为正值任意两条边的平方和都大于第三边的平方.五、高考真题整理1.设ABC的三内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2c，6b，120OB，则a（）A.6B.2C.3D.22.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值是（）A.518B.34C.78D.323.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若(3)coscosbcAaC，则cosA_____.4、在ABC中，4B，BC边上的高等于13BC，则cosA_____.5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若4cos5A，5cos13C，1a，则b_____.6、已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_____.7、在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.98、在ABC中，内角,,ABC对应的边分别为,,abc，已知2,3cC.（1）若ABC的面积等于3，求,ab；（2）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC的面积.9、设函数2()sincossin()4fxxxx（xR）.（1）求函数()fx的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若()02Cf，2c，求ABC面积的最大值.10、已知向量3(,sin)2mx，(1,sin3cos)nxx，函数()fxmn.（1）试求函数()fx的单调递增区间；（2）若ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，内角B满足()3fB，且3b，试求ABC面积的最大值.11、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4a，3cos4A，57sin16B，4c.（1）求b；10（2）求ABC的周长.12、设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知3c，coscosaAbB.（1）求角A的大小；（2）如图所示，在ABC的外角ACD内取一点P，使得2PC.过点P分别作直线CA、CD的垂线，垂足分别是M、N.设PCA，求PMPN的最大值及此时的取值.13、ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知2cos(coscos)CaBbAc.（1）求C；（2）若7c，ABC的面积为332，求ABC的周长.14、在ABC中，2222acbac.（1）求B的大小；（2）求2coscosAC的最大值.15、ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量(,3)mab与(cos,sin)nAB平行.NPDCBAM11（1）求A；（2）若7a，2b，求ABC的面积.16、如图，已知扇形的圆心角23AOB，半径为42，若点C是AB上一动点（不与点A，B重合）．（1）若弦4(31)BC，求BC的长；（2）求四边形OACB面积的最大值．【解析】（1）在OBC中，4(31)BC，42OBOC由余弦定理，有222323216(423)3233cos2232642OBOCBCBOCOBOC∴6BOC于是的长为224263（2）设AOC，2(0,)3则23BOC于是四边形OACB的面积AOCBOCOACBSSS四边形1211sinsin22OAOCAOCOBOCBOC1124242sin4242sin()2233116sin16[cos()sin]2224sin83cos163sin()6又2(0,)3∴5(,)666故当62，即3时，四边形OACB的面积最大，且最大值为16317、在△ABC中，若2AB，2ACBC，求ABCS的最大值.【解析】（法一）由余弦定理，有222222424cos244acbaaaBacaa222422211416168sin21cos1()22416ABCaaaaSacBaBaaaa42222416(12)1281616aaa又由三角形三边关系，有：abcacb，即2222aaaa222222a13故当212a，即23a时，ABCS最大，且max128[]82216ABCS（法二）∵2222abcaap∴222222aaaapaa2222222