2020高考数学大一轮复习(课件-课时作业)-(22)

系列丛书进入导航第五章数列第1页第五章数列第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第2页大一轮复习·高三数学文科·创新方案第4节数列求和系列丛书进入导航第3页大一轮复习·高三数学文科·创新方案第五章数列考纲考情考向预测1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.从近三年高考情况来看，本节一直是高考中的热点．预测2020年高考将以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点．题型以解答题的形式为主，难度中等或稍难．一般第一问考查求通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合.系列丛书进入导航第4页大一轮复习·高三数学文科·创新方案第五章数列第一课时数列求和第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第5页大一轮复习·高三数学文科·创新方案真题模拟演练课堂探究考点突破第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第6页大一轮复习·高三数学文科·创新方案课堂探究考点突破第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第7页大一轮复习·高三数学文科·创新方案考点一公式法、分组转化法求和(2019·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第8页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第9页大一轮复习·高三数学文科·创新方案(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝21－22n1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第10页大一轮复习·高三数学文科·创新方案【结论探究】本典例条件不变求数列{bn}的前n项和Tn.解：由(2)知bn＝2n＋(－1)nn.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝2－2n＋11－2＋n2＝2n＋1＋n2－2；当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝2n＋1－2＋n－12－n第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第11页大一轮复习·高三数学文科·创新方案＝2n＋1－n2－52.∴Tn＝2n＋1＋n2－2，n为偶数，2n＋1－n2－52，n为奇数.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第12页大一轮复习·高三数学文科·创新方案分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第13页大一轮复习·高三数学文科·创新方案等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝2Sn，n为奇数，bn，n为偶数，设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第14页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，得q＋6＋d＝10，3＋4d－2q＝3＋2d，解得d＝2，q＝2，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第15页大一轮复习·高三数学文科·创新方案(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝na1＋an2＝n(n＋2)，则cn＝2nn＋2，n为奇数，2n－1，n为偶数，即cn＝1n－1n＋2，n为奇数，2n－1，n为偶数，第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第16页大一轮复习·高三数学文科·创新方案∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－12n＋1＋21－4n1－4＝2n2n＋1＋23(4n－1)．第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第17页大一轮复习·高三数学文科·创新方案考点二错位相减法求和(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第18页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3，又因为q＞0，所以q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第19页大一轮复习·高三数学文科·创新方案(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第20页大一轮复习·高三数学文科·创新方案得Tn＝3n－23×4n＋1＋83.所以，数列{a2nb2n－1}的前n项和为3n－23×4n＋1＋83.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第21页大一轮复习·高三数学文科·创新方案错位相减法求和的策略(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第22页大一轮复习·高三数学文科·创新方案(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第23页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d，由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第24页大一轮复习·高三数学文科·创新方案(2)由(1)知cn＝6n＋6n＋13n＋3n＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋41－2n1－2－n＋1×2n＋2＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第25页大一轮复习·高三数学文科·创新方案考点三裂项相消法求和角度1形如an＝1nn＋k(2019·福州四校联考)在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求证：数列ann是等差数列；(2)求数列1an的前n项和Sn.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第26页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解：(1)证法一：nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的两边同时除以n(n＋1)，得an＋1n＋1－ann＝2，又a11＝4，所以数列ann是首项为4，公差为2的等差数列．证法二：因为an＋1n＋1－ann＝nan＋1－n＋1annn＋1＝2n2＋2nn2＋n＝2，a11＝4，所以数列ann是首项为4，公差为2的等差数列．第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第27页大一轮复习·高三数学文科·创新方案(2)由(1)，得ann＝a1＋2(n－1)，即ann＝2n＋2，即an＝2n2＋2n，故1an＝12n2＋2n＝12·1nn＋1＝121n－1n＋1，所以Sn＝121－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝121－1n＋1＝n2n＋1.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第28页大一轮复习·高三数学文科·创新方案角度2形如an＝1n＋n＋k已知正项数列{an}满足a1＝1，1an＋1＋1an1an＋1－1an＝4，数列{bn}满足1bn＝1an＋1＋1an，记{bn}的前n项和为Tn，则T20的值为.2第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第29页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解析：由条件知1a2n＋1－1a2n＝4，则1a2n是首项为1，公差为4的等差数列，所以1a2n＝4n－3.又{an}为正项数列，所以1an＝4n－3，所以1bn＝4n＋1＋4n－3，所以bn＝14n－3＋4n＋1＝14(4n＋1－4n－3)，第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第30页大一轮复习·高三数学文科·创新方案故T20＝b1＋b2＋…＋b20＝14[(5－1)＋(9－5)＋…＋(81－77)]＝14(81－1)＝2.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第31页大一轮复习·高三数学文科·创新方案角度3形如an＝n＋1n2n＋22正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.第五章·第4节·第一课时系列丛书进入导航第32页大一轮复习·高三数学文科·创新方案解：(1)由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－