2008年高考试题——数学文（全国卷1）

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第错误!未找到引用源。卷（选择题）和第错误!未找到引用源。卷（非选择题）两部分．第错误!未找到引用源。卷1至2页，第错误!未找到引用源。卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，一、选择题1．函数1yxx的定义域为（）A．{|1}xx≤B．{|0}xx≥C．{|10}xxx≥或≤D．{|01}xx≤≤1D解析：依题意，10,0xx解得，0≤x≤1，所以函数1yxx的定义域为{|01}xx≤≤，选择D;点评：本题考查了不等式的解法，函数定义域的求法以及交集、并集等集合运算，是基础题目。2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）2A解析：（法一）由于汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，所以，从路程与时间的图像看，其图像的切线斜率由逐渐增大、定值、逐渐减小，易知，A正确；（法二）根据汽车加速行驶212sat、匀速行驶s=vt、减速行驶212sat并结合图像易知选择A；点评：本题考查了学生的识图能力与导数的概念及几何意义。3．512x的展开式中2x的系数为（）A．10B．5C．52D．13C解析：依题意，设第r+1为2x项，则15()2rrrxTC，∵2r，所以展开式中2x的系数为22515()22C，选择C;4．曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°4B解析：/2/132,|1,xyxky曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角045，选择B；5．在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD=（）A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc5A解析：如图，∵ABc，ACb，∴点D满足2BDDC，222121()333333ADABBCABACABACABbc，选择A；6．2(sincos)1yxx是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数6D解析：222(sincos)1sin2sincoscos1sin2yxxxxxxx，所以，stOA．stOstOstOB．C．D．BDCA这个函数是最小正周期为π的奇函数，选择D；7．已知等比数列{}na满足122336aaaa，，则7a（）A．64B．81C．128D．2437A解析：设等比数列{}na的公比为q，则q=2312aaaa=2，所以11(12)3,1aa，67164aaq，选择A；8．若函数()yfx的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，则()fx（）A．22exB．2exC．21exD．22ex8A解析：函数()yfx的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，所以函数()yfx是函数ln1yx的反函数，所以由ln1yx得1yxe，∴22yxe，()fx22ex，选择A；9．为得到函数πcos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A．向左平移π6个长度单位B．向右平移π6个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位9C解析：依题意，sincos()cos()22yxxx，所以只需将函数sincos()2yxx向左平移5π6个长度单位，得到函数πcos3yx的图象，选择C;10．若直线1xyab与圆221xy有公共点，则（）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．2211ab≥110.D解析：由题意知，直线1xyab与圆221xy有交点，则22111ab≤1.即22111ab≥，选择D；11．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．2311.B解析：由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则13ABa，棱柱的高22221236()323AOaAOaaa（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB.另解：设1,,ABACAA为空间向量的一组基底，1,,ABACAA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OAAAABAC,11ABABAA2111126,,333OAABaOAAB，则1AB与底面ABC所成角的正弦值为111123OAABAOAB.12．将1，2，3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种12.B.解析：先排第一行，有33A=6种不同方法，然后再排其他两行，每种对应2中不同排法，共有6×2=12种不同排法，选择B;2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．1233122312．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）13．若xy，满足约束条件03003xyxyx，，，≥≥≤≤则2zxy的最大值为．13.9．解析：如图，作出可行域，作出直线0:20lxy，将0l平移至过点A处时，函数2zxy有最大值9.14．已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．14.2.解析：由抛物线21yax的焦点坐标为1(0,1)4a，又焦点为坐标原点得，∴14a，则2114yx，与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为14122。15．在ABC△中，90A，3tan4B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．1512解析：如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e=12.16．已知菱形ABCD中，2AB，120A，沿对角线BD将ABD△折起，使二面角ABDC为120，则(3,3)A20xy0xy30xyO3xyx13题图ABCABCDOH点A到BCD△所在平面的距离等于．16.32解析：如图，依题意，易知，∠AOC是二面角ABDC的平面角，∠AOC=120，又AO=1，过A作AH⊥CO，交CO于H，则AH⊥平面BCD，在RT△AOH中，AH=AOsin600=32。三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且cos3aB，sin4bA．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若ABC△的面积10S，求ABC△的周长l．17.解析：（Ⅰ）在ABC△中，由cos3aB，sin4bA得sin4cos3bAaB，据正弦定理得sinsin4sincos3BAAB，∴4tan3B，由于B是三角形内角，所以B(0,)2，据平方关系式得，cosB=35，∴sinB=45，又cos3aB，所以a=5；（2）由（1）知cosB=35，∴sinB=45，又sin10SacB，所以c=5；由余弦定理得2222cos25253020bacacB，25b，∴1025l。18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小．18．解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，ABAC，AFBC，又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE．CDEABFOGACDEB18题图2tantan2CEDFDC，90OEDODE，90DOE，即CEDF，CE面ADF，CEAD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角．233ACCDCGAD，63DG，22303EGDEDG，6CE，则22210cos210CGGECECGECGGE，10πarccos10CGE，即二面角CADE的大小10πarccos10．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）在数列na中，11a，122nnnaa．（Ⅰ）设12nnnab．证明：数列nb是等差数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS．解析：（1）∵在数列na中，11a，122nnnaa，12nnnab，∴111121222nnnnnnnnnaaaabb，所以数列数列nb是等差数列是等差数列，且nbn。（2）由（1）知，nbn，又12nnnab，所以12nnan，则111222nnSn，2212222nnSn，两式相减得01212122(1)21nnnnSnn。20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．1212441212315553121AA3A,ABAC1111622P(A)==,P(A)==,P(B)1)==C5A5CC10351127P(A)=P(A)+P(A)P(B)=+=55525P(A)=1解法：设为甲的次数不多于乙的次数则表示甲的次数小于乙的次数则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进