高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生

教师：学生：时间：_2016_年__月日段第__次课教师学生姓名上课日期月日学科数学年级高二教材版本人教版类型知识讲解：√考题讲解：√本人课时统计第（）课时共（）课时学案主题《导数及其应用》复习课时数量第（）课时授课时段教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点、难点掌握导数的概念和求法。掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。教学过程知识点复习【知识点梳理】《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数()fx在区间12[,]xx上的平均变化率为：2121()()fxfxxx。即：xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2.导数的定义：设函数()yfx在区间(,)ab上有定义，0(,)xab，若x无限趋近于0时，比值00()()fxxfxyxx无限趋近于一个常数A，则称函数()fx在0xx处可导，并称该常数A为函数()fx在0xx处的导数，记作0()fx。函数()fx在0xx处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。注意：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()yfxxfx；（2）求平均变化率：00()()fxxfxx；（3）取极限，当x无限趋近与0时，00()()fxxfxx无限趋近与一个常数A，则0()fxA.4.导数的几何意义：函数()fx在0xx处的导数就是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()yfx在x0处的导数，即为曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。当点00(,)Pxy不在()yfx上时，求经过点P的()yfx的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0xx。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数()St，则()VSt表示瞬时速度，()avt表示瞬时加速度。二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）()kxbk(k,b为常数)；（2）0C(C为常数)；（3）()1x；（4）2()2xx；（5）32()3xx；（6）211()xx；（7）1()2xx；（8）1()ααxαx（α为常数）；（9）()ln(0,1)xxaaaaa；（10）11(log)log(0,1)lnaaxeaaxxa；（11）()xxee；（12）1(ln)xx；（13）(sin)cosxx；（14）(cos)sinxx。2.函数的和、差、积、商的导数(若fx，gx均可导)：（1）[()()]()()fxgxfxgx；（2）[()]()CfxCfx（C为常数）；（3）[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；（4）2()()()()()[](()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx。3.简单复合函数的导数：若(),yfuuaxb，则xuxyyu，即xuyya。三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()yfx在区间(,)ab内可导，（1）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为增函数；（2）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为减函数；（3）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()yfx的定义域；②求导数()fx；③解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数()yfx在区间(,)ab内可导，(1)如果函数()yfx在区间(,)ab上为增函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(2)如果函数()yfx在区间(,)ab上为减函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(3)如果函数()yfx在区间(,)ab上为常数函数,则()0fx恒成立。2.求函数的极值：设函数()yfx在0x及其附近有定义，如果对0x附近的所有的点都有0()()fxfx（或0()()fxfx），则称0()fx是函数()fx的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的全部实根，12nxxx，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，()fx和()fx值的变化情况：x1(,)x1x12(,)xx…nx(,)nx()fx正负0正负0正负()fx单调性单调性单调性（4）检查()fx的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数()fx在定义域I内存在0x，使得对任意的xI，总有0()()fxfx，则称0()fx为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值的步骤：（1）求()fx在区间(,)ab上的极值；（2）将第一步中求得的极值与(),()fafb比较，得到()fx在区间[,]ab上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。()()fxxA的值域是[,]ab时，不等式()0fx恒成立的充要条件是max()0fx，即0b；不等式()0fx恒成立的充要条件是min()0fx，即0a。()()fxxA的值域是(,)ab时，不等式()0fx恒成立的充要条件是0b；不等式()0fx恒成立的充要条件是0a。（2）证明不等式()0fx可转化为证明max()0fx，或利用函数()fx的单调性，转化为证明0()()0fxfx。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。《导数及其应用》单元测试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）1．函数22)(xxf的导数是（）(A)xxf4)((B)xxf24)((C)xxf28)((D)xxf16)(2．函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）(A)0,1(B)8,2(C)2,1(D)2,03．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，4．若函数bbxxxf33)(3在1,0内有极小值，则（）（A）10b（B）1b（C）0b（D）21b5．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy6．曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）8．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（）A．3B．52C．2D．329．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10．函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）（A）)2()3()3()2(0//ffffy（B）)2()2()3()3(0//ffff（C）)2()3()2()3(0//ffff（D）)3()2()2()3(0//ffffO1234x二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln(0)fxxxx的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为,Mm，则Mm＿＿．13．点P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是14．已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是.(2)若函数在),1[上总是单调函数，则a的取值范围.（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是.三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．17．设函数3()32fxxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xfx（,）、22()xfx（,），该平面上动点P满足•4PAPB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点，.求(Ⅰ)求点AB、的坐标；(Ⅱ)求动点Q的轨迹方程.18.已知函数32()233.fxxx（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；（2）若关于x的方程0fxm有三个不同的实根，求实数m的取值范围.19．已知Raxxaaxxf14)1(3)(23（1）当1a时，求函数的单调区间。（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值－3？20．已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．课后作业练习题学生成长记录本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□____________________________学生的接受程度：54321______________________________学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般积极□不积极□___________________________学生上次作业完成情况：优□良□中□差□存在问题_____________________________学管师（班主任）_______________________________________________________________备注签字时间教学组长审批教学