北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》

1.3正方形的性质与判定(二)菱形矩形平行四边形正形方正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。有一组领边相等，并且有一个角直角的平行四边形的是正方形对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.•现在请大家做一做这样一个实验：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法对角线相等对角线垂直定理：对角线相等的菱形是正方形定理：对角线垂直的矩形是正方形定理：有一个角是直角的菱形是正方形①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。1、叫正方形。2、有的矩形是正方形。3、对角线的矩形叫正方形4、有的菱形是正方形。5、对角线的菱形叫正方形6、有，有的平行四边形是正方形7、对角线的平行四边形是正方形8、对角线的四边形是正方形正方形的判定例1：已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形证明:∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠EBC=∠ECB∴EB=EC,∴BECF是菱形在△EBC中∵∠EBC=45,∠ECB=45°,∴菱形BECF是正方形∴∠BEC=90°,1、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形B、四条边都相等的四边形是正方形C、对角线相等的平行四边形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形D2．四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：（）A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BCD．AC＝BDCA5．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形A4.已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CDD6、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．梯形顺次连结菱形的各边中点，所得的四边形一定是（）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．平行四国边形顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．平行四国边形BCA以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？例2：已知：如图(2)，点A’、B’、C’、D’分别是正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形A'B'C'D'是正方形。分析:你能先证明四边形是矩形吗？:已知：如图，在正方形ABCD中A`A=B`B=C`C=D`D。求证：四边形A`B`C`D`是正方形。证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`∴四边形A`B`C`D`是菱形又∵∠AD`A`=∠BA`B`，∠AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90°∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四边形A`B`C`D`是正方形。思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN，试判断线段AM于BN之间的关系.探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF练一练2、如图，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC∴∠EAC＝∠BAG∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABGABDCFE3、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。