同角三角函数的基本关系及其应用

1同角三角函数的基本关系应用方法温燕红同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。我们已经知道了三角函数的定义：任意角的终边上取点P，设点P的坐标为（x，y），OP=r，我们定义。，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角xyxyryryrxrxtantansinsincoscos因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：1cossin22，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.（2）商数关系：tancossin，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“的选取。考查题型一已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。例1：若的值。是第三象限角，求且tan,cos,54sin解析：343554cossintan,53541sin1cos,54sin22是第三象限角，分析：此类题型属于较易题型，在角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。题型二已知tan的值，求关于cossin、的齐次分式时，可将求值式变为关2于的代数式，此方法可称为弦化切。例题2：已知2tan，则sin3cos5cos2sin4=解析：由题意可得，0cos，把sin3cos5cos2sin4上下同时除以cos，得到116235224tan352tan4。例3：已知2tan，求2222cos3sin4coscossinsin2解析：将分子、分母同时除以2cos得131132412223tan41tantan22222原式。例4：已知的值。求1cossin3sin,3tan2解析：,1cossin,3tan221tan11tan3tan2cossincoscossin3sin2)cos(sincossin3sin222222222原式注：如果已知一个角的正切值，我们利用同角三角函数的基本关系式，可以联立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此类题型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法简单，所以，弦化切的方法是一个基本技巧，需要学生掌握。题型三三角函数的化简在对三角函数化简时，在题设的条件下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求是使结果尽可能地简单。对化简的一般要求是：（1）项数要最少；（2）次数要最低；（3）函数种类要最少；（4）分母不含根号；（5）能求值的要求值。例5：化简：0002036cos36sin2136cos136cos解析：原式=cos360−√sin236√(cos360−sin360)2=cos360−sin360|cos360−sin360|3=cos360−sin360cos360−sin360=1注：此题中首先需要利用凑完全平方式，去根式。其次一定要判断正余弦三角函数的大小。判断方法，我们只需根据三角函数线判断終边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一负很容易判断。口诀：0𝛼450，余弦大；45𝛼900，正弦大；1800𝛼2250，正弦大，2250𝛼2700，余弦大。例6：化简:√1−2sin4cos4解析：原式=√sin24+cos24−2sin4cos4=√(sin4−cos4)2=|sin4−cos4|因为54π464π所以根据三角函数线知道：cos4sin4所以原式=cos4−sin4题型四注意1的妙用，在同角三角函数关系中，sin2α+cos2α=1,可变形成(sinα+cosα)2−2sinαcosα=1,期中sinα+cosα与sinαcosα很容易与一元二次方程中的韦达定理产生联系。若以sinα、cosα为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题。例题7：已知：sinθ+cosθ=15，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ;(2)sinθ−cosθ.解析：sinθ+cosθ=15，θ∈(0，π)。∴(sinθ+cosθ)2=125，即sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=125∴sinθcosθ=−12250sinθ0,𝑐𝑜𝑠𝜃0,且sinθ，cosθ是方程x2−15x−1225=0的两根。解方程得x1=45,x2=−35,∴sinθ=45,cosθ=−35.∴(1)tanθ=sinθcosθ=−43.(2)sinθ−cosθ=75.方法总结：同角三角函数的解题方法：（1）弦化切（2）1的妙用（3）对于已知sinα±cosα=型的问题，将两边平方。（4）利用韦达定理，将sinα，cosα看做一元二次方程的两根4灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形能力，进一步掌握化归思想方法。练习：1．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于（）A．－B．C．±D．±2．已知sinα＋cosα＝，且0≤απ，那么tanα等于（）A．－B．－C．D．3．若sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα等于（）A．±B．1C．－1D．±1二、填空题4．若sinα＋3cosα＝0，则的值为____________．5．已知tanα＝2，则＝____________．三解答题6已知sinα＝m（|m|1），求tanα，cosα．7已知tanθ＋cotθ＝2，求：（1）sinθ·cosθ的值；（2）sinθ＋cosθ的值；（3）sin3θ＋cos3θ的值．543443433451344343342sin3cos2sin2coscossin15答案：一、1．A根据α是第二象限角，由平方关系可得cosα＝－，从而tanα＝＝－．2．A解方程组得或又因为0≤απ，故取sinα＝，这时cosα＝－，求得tanα＝－．3．D∵（sin2α＋cos2α）2＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α＝1＋2sin2αcos2α，sin2α＋cos2α＝1∴sin2αcos2α＝0sinαcosα＝0当sinα＝0时，cosα＝±1当cosα＝0时，sinα＝±1．∴所以sinα＋cosα＝±1．二、4．－由已知可得tanα＝－3，于是原式＝＝－．5．＝＝tanα＋＝2＋＝．三、6解：（1）当－1m1，且m≠0时，若α在第一、四象限，则cosα＝，tanα＝＝＝；若α在第二、三象限，则cosα＝－，tanα＝．（2）若m＝0，则α＝kπ（k∈Z），∴tanα＝0，cosα＝±1．点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．7．解：（1）∵tanθ＋cotθ＝2，∴＋＝2，＝2∴sinθ·cosθ＝；53cossin341cossin51cossin2253cos54sin54cos53sin5453341159261tan32tan2111525cossin1cossincossin22tan12125221sin1mcossin21mm2211mmm21m2211cossinmmmcossinsincoscossincossin22216（2）∵（sinθ＋cosθ）2＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ＝1＋2×＝2又tanθ＋cotθ＝20，可得sinθ·cosθ＝0，故sinθ与cosθ同号，从而sinθ＋cosθ＝；（3）∵sin3θ＋cos3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθ·cosθ＋cos2θ）＝（sinθ＋cosθ）∴sin3θ＋cos3θ＝2121为第三象限角当为第一象限角当2221为第三象限角当为第一象限角当2222