第十二次课第四章连续体的振动

第四章连续体的振动§4.2杆的纵向振动例：有一根x=0端为自由、x=l端处为固定的杆，固定端承受支撑运动tdtugsin)(d为振动的幅值试求杆的稳态响应。lx0)(tug§4.2杆的纵向振动解：lx0tdtugsin)(方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析应变：xuudxudxxuuugg)(])([内力：xuuESESFg)(达朗贝尔原理：FdxxFFtuSdx)(22),(txu杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移2222)(xuuEStuSglx0tdtugsin)(令：代入方程：2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：**''gSuESuSu2sinSdt设解为：1*)()(iiitqxu)(xi为归一化的正则模态,...5,3,1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2,...5,3,1''§4.2杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,...5,3,1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,...5,3,1'')(xj用乘上式，并沿杆长积分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210''0sin)(利用正交性：tdillqqiiiisin)1(2222/)1(2§4.2杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,...5,3,1,2cos2)(ixlilxitdillqqiiiisin)1(2222/)1(2模态稳态解：tdillqiiiisin)1(222/)1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos)1(16,...5,3,132/)1(322*lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos)1(16,...5,3,132/)1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos)1(161,...5,3,12/)1(3322*§4.2杆的纵向振动小结1.建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解7.返回物理空间，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj)(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空间问题模态空间问题)()(),(1tqxtxuiii模态叠加法§4.2杆的纵向振动§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x轴，图示轴任一x截面处的转角表示为θ(x,t)。设轴长为l，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯性矩为Jp，材料的剪切弹性模量为G。轴的扭转应变为，作用于微元dx两截面上的扭矩分别为，及。假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。xpGJx22()pGJdxxx§4.3圆轴的扭转振动(,)(,)pxtMxtGJxMMMdxMdxxxpGJx杆的扭转振动，抗扭刚度截面处的扭转角(,)xt由材料力学知识dx微元段扭矩的增量为22(,)(,)[]ppxtMxtJdxdxGJdxtxxx2PAJrdA极惯性矩：圆截面极惯性矩：4J32Pd2221(2PPPIrdmdxrdAdxJImR圆截面的转动惯量):密度2222(,)(,)ppxtxtJGJtx得：Gc设22222(,)(,)xtxtctx则有：c:表示剪切波在杆内的传播速度(,)(sincos)sin()nnnxtAxBxtcc(,)(sincos)sin()jjjjjjjxtAxBxtcc1,2j它的解为式中四个待定常数,,,nAB及由系统的边界条件和初始条件确定。一般解为：1(,)(sincos)sin()jjjjjjjxtAxBxcc(,)(sincos)sin()nnnxtAxBxtcc解：(0,)0t(,)(,)|pxlxtMltGJx边界条件：对于圆盘的运动微分方程：22(,)(,)||pxlpxlxtxtIGJtx例-3：上端固定，下端装有转动惯量为的圆盘，圆轴的极惯性矩为JP，其剪切弹性模量为G，试分析其扭转振动的频率方程。PIJPIP(,)sinsin()nnxtAxtc2sinsin()cossin()|nnnpnnpnxlIxtGJAxtccc2sincosnnnpnpllIGJccc由于边界条件得：B=0简化得：tanpnnpJlllccI得：频率方程代入得：tan,pnPlJlcIα的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。设其中(a）如近似地取，则（a）式化简为下表给出对应于各个不同的α值时，基本特征值β的值。2/0.010.100.300.500.700.901.001.500.100.320.520.650.750.820.860.982.003.004.005.0010.020.01001.081.201.271.321.421.521.57tg22ppPPcJGJIlIl（b）上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式。33tg这时有13pPGJIl（c）上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自由度扭振系统的固有频率公式。只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，那么计算基频的近似式（c）在实用上已足够准确了。综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表4-1。进一步的近似可取弦的横振杆的纵振轴的扭振物理参数弦的张力弦的体密度弹性模量截面积密度剪切弹性模量截面极惯性矩密度截面的位移横向位移纵向位移转角单位长度的质量或转动惯量截面处力（或扭矩）表4-1弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表SpJTAEGpJxyxxyTyuESESxxppyGJGJxxSc/TA0/aE/G2202221yyacxct)()(tYxUyyiiicxDcxCxUtBtAtYiiiiiiiiiicossin)(,cossin)(0)()0(lUU0)(')0('lUU0)(')0(lUUlcii/3,2,1i0/iiallcii212lxiUisinlxiUicoslxiUi212sin3,2,1i3,2,1i弦的横振杆的纵振轴的扭振波速运动微分方程通解边界条件两端固定两端自由一端固定一端自由固有频率振型函数§4.4梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动),(txfyx0梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利－欧拉梁（Bernoulli-EulerBeam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩梁参数：I截面对中性轴的惯性矩单位体积梁的质量S梁横截面积E弹性模量外部力：假设：),(txfyx0f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻的横向位移),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和弯矩微段的惯性力:22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力:),(dxtxm微段所受的外力矩§4.4梁的弯曲振动dxtxf),(dx22tySdxdxxMMQQFFdxxMQFdxtxm),(力平衡方程：22()(,)0QQQFySdxFdxFfxtdxtx22(,)QFyfxtSxt即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：22)(,)(,)022QMdxydxMdxMFdxfxtdxSdxmxtdxxt（略去高阶小量：(,)QMFmxtx材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：22),(),(xtxyEItxM),(),(),(]),([222222txmxtxfttxySxtxyEIx变截面梁的动力学方程：§4.4梁的弯曲振动),(),(),(]),([222222txmxtxfttxySxtxyEIx变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI§4.4梁的弯曲振动固有频率和模态函数),(),(),(]),([222222txmxtxfttxySxtxyEIx变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动0),(]),([222222ttxySxtxyEIx自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：)sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振动方程：0)(2SEI对于等截面梁：0)()(4)4(xx2024aSEIa20xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321通解：)4~1(iCi和应满足的频率方程由梁的边界条件确定§4.4梁的弯曲振动0),(),(2244ttxySxtxyEI等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：)sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321通解：代入，得：第i阶主振动：)(xii无穷多个)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和由系统的初始条件确定系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：1)sin()(),(iiiiitxatxy§4.4梁的弯曲振动常见的约束状况与边界条件0),(xtxy0)(x0)(xlx0或（1）固定端挠度和截面转角为零0),(txy（2）简支端挠度和弯矩为零0),(22xtxyEIM0),(txy0)(x0)(xlx0或（3）自由端弯矩和剪力为零0),(22xtxyEIM0xMFs0)(x0)(xlx0或(,)()()yxtxqt§4.4梁的弯曲振动例：求悬臂梁的固有频率和模态函数x0y解：一端固定，一端自由边界条件0)0(0)0(固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩