勾股定理的综合应用

勾股定理的应用资中县板栗中心学校张怀扬1、请叙述出勾股定理的具体内容。2、使用勾股定理的条件有哪些？如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么222abcabc直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。⑴直角三角形⑵已知两边或两边的关系练习：1.在△ABC中，∠B=90°AB＝c，BC＝a，AC＝b。⑴若a=9，b=15，则c=；⑵若a=6，c=8，则b=；⑶已知a:c=3:4,b=25,求c=。作图：CBAabc12104三、勾股定理的应用（一）直接运用勾股定理求边3、若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x=_____．2012或2.已知直角三角形ABC中,(1)若AC=8,AB=10,则=____.(2)若=30,且BC=5,则AB=_____(3)若=24,且BC=6,则AB边上的高为_____BACABCSABCSABCS24134.8某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，为了安全起见梯子的底部与墙基的距离是2.5米。请问消防队员能否进入三楼灭火？思考•墙与地面的位置关系是什么？•地面到三层楼面的高为多少？•BC、AC、AB之间存在什么关系？解：依题意，如图，AC为建筑物，则AC=2×3=6m，BC=2.5m，AB是云梯的长，因为2.52+62=42.25=6.52。根据勾股定理，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，因此消防队员能进入三楼灭火。ABCOBA古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。ABCD1m2m一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?解:连结AC在Rt△ABC中22221252.24ACABBCm∵AC2m∴将薄木板的宽斜着放就可以通过此门框练习：如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆,求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．(结果保留1位小数)c5米7米解:在Rt△ABC中2222754.9(ABACBC米）答:所求的距离AB约为4.9米【小结】掌握和灵活运用勾股定理2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mABCDE如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？ACB在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴AB2=AC2+BC2(勾股定理）解：∵AC=11.25×4=45cm,BC=20×3=60cm75562560452222BCACAB∴通道的长度为75cm.4560今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？（葭（jiā），是芦苇的意思。）探究二10尺1尺今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？（葭（jiā），是芦苇的意思。）探究二10尺1尺BADC222ABBCAC解：由题意有：BC＝5尺，AB=AC+1。2221)(x5x即解得：x＝12，得x+1＝13。5尺设AC＝x尺，则AB＝（x+1）尺，由勾股定理有：在RtΔABC中，∠ACB=90°，答：水深12尺，芦苇长13尺。一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD从题目和图形中，你能得到哪些信息？ACOBD分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OB,OD.在Rt△AOB中,梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.在Rt△AOB中，___,____________________2OB75.25.232222AOAB._______________________OB658.175.2在Rt△COD中，___,____________________2OD5232222OCCD._______________________OD236.25.______________________________BDOD－OB=2.236－1.658≈0.580.58mzxy想一想:图1中的x等于多少?图1中的y、z等于多少?3221111图1ABCDEabcABCbac图1中的a，b，c有怎样的关系?∴a2+b2=c2在△ABC中，∵∠C=90°∴∠C=90°在△ABC中，∵a2+b2=c2在△ABC中，∵∠B=90°∴a2+c2=b2在△ABC中，∵a2+c2=b2∴∠B=90°5,6,7想一想:利用图2你能画出长分别是的线段吗?56zy11x图23221111ABCDEFG下图由4个等腰直角三角组成，其中第1个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度。①②③④例2.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）DCB'AA'B222241011610.77()ACABBCcm解:如右图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，答：最短路程约为10.77cm．ABCDoAABD最短路程问题C一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）43O分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.即AB长为最短路线.(如图)练习:小良家有一底面周长为24m，高为6m的圆柱形罐，一天他发现一只聪明的蟑螂从距底面1m的A处爬行到对角B处，你知道小良为什么说那是只聪明的蟑螂吗?(从爬行路线考虑)AB解：如图为圆柱的侧面展开图,AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=169,∴AB=13(m).BAC即最短路线AB为13m12如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是_____ABABAB如图所示，现在已测得长方体木块的长2，宽1，高3.一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。AB蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？ABGFCHABFCGDACDBGFHMABHFGM例4如图，已知CD＝6cm，AD＝8cm，ADC＝90o，BC＝24cm，AB＝26cm。求阴影部分面积。ACDB已知直角三角形的周长为12，斜边长为5，求这个三角形的面积。如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90o，求∠DAB的度数。ABCD解：画△ABC的高AD，∵△ABC是等边三角形，∴在Rt△ABC中，362121BCBD196.527362222BDABAD6.1558.15196.562121ADBCSC∴如图，等边三角形ABC的边长是6．求△ABC的面积．BCAＤ例2：在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC=10cm,求△ABC的面积及AC边上的高。ABCD131310H做一做：BCAD如图，在△ABC中，AB=13，AD=12，AC=15,CD=9．求△ABC的面积．已知直角三角形一条直角边长为8，另两边长为连续奇数，求这个三角形的周长。五、勾股定理的综合运用勾股定理与其逆定理综合的问题1.如图，在四边形ABCD中，∠B=AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。ABDC90◦例3:一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．在Rt△OCD中，由勾股定理得CＨ＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂222210.80.6(CDOCOD米）解:如图所示点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ,则OC=1米,OD=0.8米下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,旗杆有多高呢？你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？ABC５xx+13.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树40米的A处,另一只爬到树顶D后直接跳向A处,且测得AD为50米,求BD的长.DCAB折叠问题1、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？ABCDEF（B）（C）折叠图问题2、如图，在矩形ＡＢＣD中，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，ＡＢ＝8cm，CE=3cm，求BF的长度校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？151314ABCDx14-x如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？183024及时练如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CDABCD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD及时练