(人教版)数学必修五：1.1《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件

1.1正弦定理和余弦定理第一章第1课时正弦定理1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对________，小边对________．2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定理，即________．1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即对正弦定理的理解：(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sinABC＝abC．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．42．正弦定理的变形形式(1)a＝bsinAsinB＝csinAsinC，b＝asinBsinA＝csinBsinC，c＝asinCsinA＝bsinCsinB.(2)sinA＝asinBb＝asinCc，sinB＝bsinAa＝bsinCc，sinC＝csinAa＝csinBb.(3)a:b:c＝sinA:sinB:sinC．(4)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(5)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(6)角化边公式：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边b的长及△ABC外接圆的半径R.[解析]已知B＝30°，C＝45°，c＝1.由正弦定理，得bsinB＝csinC＝2R，所以b＝csinBsinC＝1×sin30°sin45°＝22，2R＝csinC＝1sin45°＝2，得R＝22.所以，b＝22，△ABC外接圆的半径R＝22.3．解三角形(1)定义：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．②已知任意两边与其中一边的对角，求其他的边和角．(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．图示已知a、b、A，△ABC解的情况．(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解absinA两解a＝bsinA一解ab无解无解absinA无解不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝7，b＝14，A＝150°；(3)a＝9，b＝10，A＝60°.[解析](1)sinB＝bsin120°a＝45×3232，∴△ABC有一解．(2)sinB＝bsin150°a＝1，∴△ABC无解．(3)sinB＝bsin60°a＝109×32＝539，而325391，∴当B为锐角时，满足sinB＝539的B的取值范围为60°B90°.∴对应的钝角B有90°B120°，也满足A＋B180°，所以△ABC有两解．已知两角和一边解三角形在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解三角形．[分析]已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已知一边可由正弦定理求其它两边．[方法总结](1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①由三角形内角和定理求出第三个角；②由正弦定理公式的变形，求另外的两边．(2)注意事项：已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B．2C．2D．3＋3[答案]A[解析]由ABsinC＝BCsinA得，BC＝3－3.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形已知在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解这个三角形．[分析]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．[方法总结]已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中，要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝bsinCsinB＝asinCsinA等．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°[答案]D[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝43×sin30°4＝32，又∵ba，∴BA，∴B＝60°或120°.三角形形状的判断在△ABC中，已知a2sinBcosB＝b2sinAcosA，试判断△ABC的形状．[分析]由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ABC的形状．[方法总结]利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．注意：(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论；(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝π2.在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC的形状．[解析]解法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，∴asinA＝bsinB.由正弦定理，得a×a2R＝b×b2R，∴a2＝b2，∴a＝b，故△ABC是等腰三角形．解法二：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，∴asinA＝bsinB.由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)，故△ABC是等腰三角形.运用正弦定理求有关三角形的面积问题已知在△ABC中，c＝22，ab，C＝π4，tanA·tanB＝6，试求三角形的面积．[分析]本题可先求tanA，tanB的值，由此求出sinA及sinB，再利用正弦定理求出a，b及三角形的面积．[解析]因为tanA·tanB＝6，又C＝π4，所以A＋B＝3π4.所以tanA＋tanB＝tan(A＋B)·(1－tanA·tanB)＝－tanC·(1－6)＝－tanπ4×(－5)＝5.所以tanA0,tanB0，即A，B皆为锐角，且ab，则tanAtanB，所以tanA＝3，tanB＝2.所以sinA＝31010，sinB＝255.由正弦定理，得a＝csinAsinC＝22×3101022＝6105，b＝csinBsinC＝22×25522＝855.所以S△ABC＝12absinC＝12×6105×855×22＝245.[方法总结]三角形的面积公式在求解与三角形面积有关的问题中的作用是非常突出的，要熟练掌握．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解析]由正弦定理，得sinC＝ABsinBAC＝32.又∵ABAC，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝3.∴△ABC的面积为23或3.在△ABC中，a＝15，b＝12，A＝60°，则cosB＝________.[错解]±135由正弦定理，得15sin60°＝12sinB，∴sinB＝12×sin60°15＝235，∴cosB＝±1－sin2B＝±135.[辨析]∵ab，∴AB，因此cosB0.[正解]135由正弦定理，得15sin60°＝12sinB，∴sinB＝12×sin60°15＝235，∵ab，∴AB，∴B为锐角，∴cosB＝1－sin2B＝135.正弦定理正弦定理定理内容及推导变式三个变式变式的作用定理的作用解三角形已知两角和其中一边已知两边及其中一边对角三角形解的个数的判断常见类型判断方法