张量概念及其基本运算

张量概念及其基本运算1、张量概念◆张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。◆张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。◆所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。◆在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。◆在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。◆绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。◆若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：M=3n◆现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；、、、当取n时，n阶张量，M=3n。◆张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合。◆张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示◆张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就必须扩大，于是张量就出现了。◆在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。◆不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。◆重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。2.下标记号法3.求和约定关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。例如：31332211iiiiibababababa31332211jiiijijjijbababababa2332222113122aaaaaiiiii23322112312)(iiiii3131ijijijijij131312121111232322222121333332323131★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。◆求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。◆在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：2332222112aaaaii23322112)()(aaaaii★关于自由标号：◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。◆自由标号的数量确定了张量的阶次。★关于Kroneckerdelta（）符号：ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：ij100010001,0,1ijijjiji或：时；当时；当的作用与计算示例如下：ijjijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiilllllaaaaaaaaaaaaa)()6(),,()5()4()3(3)()()()2(3)1(321332211333322221111332211233222211332211或或即4.张量的基本运算A、张量的加减：张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。即：其中各分量（元素）为：ijijijcba333231232221131211aaaaaaaaaaijijijijcbaB、张量的乘积◆对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。◆两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：ijkjkicba321aaaai321bbbbj若则：◆张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：332313322212312111babababababababababaji)()()(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcacba或；C、张量函数的求导：◆一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参数xi的函数。◆张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。◆对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前上方加“′”的方式来表示。例如，就表示对一阶张量的每一个分量对坐标参数xj求导。jiAiA◆如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则算子作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。例如：i321',,xxxxii332211'xuxuxuxuuiiii