《数字图像处理》课件6上海交大-(全)

上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季第三章图像的二维正交变换§§11正交变换的矩阵表达正交变换的矩阵表达§§5K5K--LL变换变换(KLT)(KLT)§§222D2D--DFTDFT§§66哈尔变换哈尔变换§§332D2D--DCTDCT§§77小波变换小波变换§§44沃尔什沃尔什--哈达玛变换哈达玛变换(WHT)(WHT)§§88小波包和提升小波小波包和提升小波上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季§§77小波变换小波变换A.A.连续小波变换连续小波变换B.B.离散小波变换离散小波变换C.C.金字塔分解金字塔分解D.D.子带分解子带分解E.E.多分辨率分析和多分辨率分析和MallatMallat算法算法F.F.双正交小波变换双正交小波变换数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季2.2.小波空间小波空间和离散二进正交小波变换的快速算法和离散二进正交小波变换的快速算法((MallatMallat算法算法))jW·看相邻两层逼近信号之间的差异在中存在的正交补空间，使得1,jjVV+⊂∴∵1jV+jVjW1jjjVVW+=⊕细节空间(小波空间)低分辨率尺度空间直和对应于f(t)在2j分辨率下的细节信号(带通性质)·j从-∞起，一层一层“扩”张(j++)，细节越来越丰富，当j→∞时，能表示任何f(t)∈L2(R)平方可积(能量有限)函数·与上面尺度空间时类似，存在对偶关系：(低通特性的)尺度函数小波函数(带通特性)对应的低通滤波器带通滤波器函数f的逼近信号细节它的系数离散细节()φ⎯⎯⎯→t换成()tψ()hn⎯⎯⎯→()gniAf⎯⎯⎯→iDf,jna⎯⎯⎯→,jncE.E.多分辨率分析和多分辨率分析和MallatMallat的快速小波变换算法的快速小波变换算法(FWT)(FWT)1.1.信号信号f(tf(t))在尺度空间在尺度空间中的多分辨率逼近中的多分辨率逼近jV数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季·分析过程(略)·分析结果：可以证明①存在函数(小波函数)其平移和缩放构成小波空间的正交规范基。即：当时，构成的规范正交基。②在上的投影为,其中将每层的加起来(从变化至,)，可表示任何，即()tψjW()()222jjjtntnψψ−=−(){}jntnψ∈−ZjW()()2ftL∈RjW(),jjnjnDfctnψ∈=−∑Z()(),,jnjcfttnψ=−jDfj−∞+∞jZ∈()()2ftL∈R()(),,jnjjnftctnψ∈=−∑Z③相邻层间关系考虑到是的子空间，所以的基可以用的基的加权和来表示，即相应地，离散细节即由更细一层的逼近信号经带通滤波器滤波后再亚抽样，可以获得的离散细节1jW−jV()1jtψ−1jW−jV()tjφ()()()∑∈−−=Zkjjktkgtφψ1()(),1,1,22jnjkjkkkcgknagnkaj,n++∈∈=−=−∈∑∑ZZZ1ja+()gnjW,jnc数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季④现在考虑由逼近信号和细节信号合成原始信号的“反变换”的快速实现：由，或，即将等式两边对求内积，考虑到的正交性，跨层的为低通为高通g，经代数运算得1j+=⊕jjVVWj1AjjfAfDf+=+()()()1,1,,jkjjkjjkjkkkatkatkctkφφψ++∈∈∈−=−+−∑∑∑ZZZ1jφ+()1jtnφ+−1,jjφφ+h()()1,,,22jnjkjkkkaahnkcgnk+∈∈=−+−∑∑ZZ1,ψφ+jj数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季3.3.结果归纳结果归纳一维信号的多分辨率分解—合成快速算法（在相邻层之间）可用下图表示：()()nhnh−=~()()ngng−=~()ng()nh⊕2↓2↓2↑2↑nja,1+nja,njc,nja,1+说明：（1）Mallat把小波变换、多分辨率分析和子带分解／合成联系起来了（从多分辨率分析和从子带分解两个不同的角度和方法出发，得到相同的结果）（2）上图中分解滤波器是合成滤波器的“反向”，因此实际上只需规定两个滤波器的冲激响应和即可。且因为是的“高半带”，可以用来从求得，所以最后只要规定一个滤波器就行了（3）从上图看小波变换，它相当于子带分解/合成的“特例”（4）需要认真设计上图中的滤波器，这个滤波器除要满足多分辨率分析的4性条件，使之能无失真复原外，还要满足其他实际应用中的要求，设计难度较大，实用时常常用“双正交小波变换”，放宽了对“正交性”的要求来求得线性相位特性()hn()gngh()()()111ngnhn−=−−()hn()hn()gn()hn数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季（5）多次应用上面的框图，将分解后的低频分量（逼近信号）再分解，则构成了,jna,2h↓,2g↓1c−,2h↓,2g↓,2h↓,2g↓0a1a−2a−2c−3a−3c−称为“鱼骨形”的滤波器组结构，由最上面的路径，即“低通、亚抽样”可得逐级“逼近”信号，…：由“每节”的分叉可得相应分辨率下的带通信号，（细节信号…0123,,,aaaa−−−123,,,ccc−−−（6）离散二进小波变换是“非冗余”的，数据量没有上升数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季4.4.图像的图像的FWT(1DFWT(1D→→2D)2D)二维的图像信号，可以先“逐行”作一维小波变换，分解为L，H两个分量，再“逐列”作一维小波变换，分解为LL，LH，HL，HH四个分量。L和H分别表示低通和高通滤波输出。二维尺度函数二维小波函数有三个，对应不同方向上的高／低通滤波特性：()()(),xyxyφφφ=()()()()()()()()()123,,,,,,xyxyLHxyxyHLxyxyHHψφψψψφψψψ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2j1jDfjAf2jDf分解的结果，在层次有（逼近）及,,三个细节信号。所以每“上”一层，近似图像分解为四个分量。若原图像为，分解总层数为层，则共有幅子图像。3jDf0AJ31J+数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•图像的三层小波分解3a13c23c33c12c22c32c11c21c31c•分解合成过程可以表示为：分解:合成：()()1231,,,jjjjjAAfDfDfDf+→1231jjjjjAfAfDfDfDf+=+++数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季图像信号的快速小波分解框图：数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季5.5.小波基的选择小波基的选择•如何选取小波基的形状，使其具备好的性能•由于,,,四者是相互关联的，关键看母小波应满足什么条件•以压缩应用为例，小波基除了满足允许条件外，还应满足：①有高阶消失矩，即随着增大（分辨率的提高），小波变换系数迅速减小——如果高频细节减小迅速，有利于压缩②越光滑越好，可使高频分量少③两边衰减越快越好（即紧支性，支集要小），待编码系数少④线性相位特性（最好是零相位），可使边缘处没有信号失真，有利于压缩•选择时一般最重视紧支性和线性相位性，但在“正交小波基”的限制下，两者很难兼顾•Daubechies提出了一系列不对称、紧支、正交的小波基dbn（n为消失矩）()tφ()tψ,jncj()ht()gt()tψ数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季Daubechies提出的db2小波基的波形•用滤波器组的形式来表示的db2正交小波基：n0123456789h(n)0.16010.69380.72430.1384-0.2423-0.0322-0.0775-0.0624-0.01250.0333数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季F.F.双正交小波变换双正交小波变换1.1.问题的提出问题的提出若分解合成滤波器有非线性相位特性，就会有相位畸变，造成上层图逐层有失真，所以虽能无失真恢复原图，但层间位置关系被破坏，不利于图像的压缩和处理。而且，我们进行图像的小波变换压缩编码时，常常希望层间是零相移。即希望对称。但除Haar基外,不存在这样的“紧支撑正交小波基”（Daubechies证明了这一点）。于是只好放宽要求，把正交性的要求放宽为双正交来做到对称。实际上是把4个子带滤波器归结为设计两个对称滤波器，而不像上小节正交小波变换的快速算法那样，把它们归结为一个低通滤波器的设计。这样，自由度大了，容易做到线性相位或零相位特性。()hn()hn数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季2.2.什么是双正交小波基什么是双正交小波基•它包含两个小波基，一个是，另一个是•两个小波基都构成中的“线性无关基”•它们自身的伸缩平移系列并不正交，即•但两个小波基的伸缩平移系列相互正交，即•我们称和为对偶小波基，它们构成了“双正交小波基”•于是问题就从一个正交的函数族扩展为两个自身不正交、但相互正交的函数族和(){},,jmxjmψ∈Z(){},,jmxjmψ∗∈Z()(),,,jmknjkmnψψδδ≠−−()(),,,jmknjkmnψψδδ∗=−−ψ{}ψ*ψ{}ψ{}ψ∗()2LR数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•双正交小波也具有多分辨率分析的特点•和各自仍是“基”，即由它们各自仍可张成中不同分辨率的子空间，只不过它们是“线性无关基”，而不是“正交归一基”•不仅小波函数，，而且尺度函数，也是不正交的•设一尺度函数，它的伸缩平移，构成空间的基，它本身不正交，但存在一个对偶函数，它的伸缩平移后的函数族与正交，即{}ψ∗()2LRφ∗{}ψψ*ψφ(){},,22jjjmjmxmφφ∈=−Z()()2xLφ∈RjV()xφ∗(){},,22jjjmjmxmφφ∗∗∈=−Z(){},,jmjmxφ∈Z()()(),,,jmjnxxnmφφδ∗=−数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季及对应的两尺度差分方程为：令是的补空间，，则相应的小波对偶基和应分别满足和注意和是双正交的，即两者的基和相互正交，和相互正交φ()()()()()()11jjkjjkxhktkxhktkφφφφ+∈∗∗∗+∈⎧=−⎪⎨=−⎪⎩∑∑ZZjVjW1jjWV+⊂()jxψ∗()jxψ*φ,jmψ,jnψ∗()()()1jjkxgktkψφ∗∗∗+∈=−∑Z()()()1jjkxgktkψφ+∈=−∑Zjψjψ∗(),,,jmjnmnψψδ∗=−1jφ+1jφ∗+数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季3.3.双正交小波变换双正交小波变换•有了两组不同分辨率、不同位置的小波基和，就可以进行小波变换•对于函数-第一种表示方法-第二种表示方法式两边与作内积运算，可以得到{},,jmjmψ∈Z{},,jmjmψ∗∈Z()()2fxL∈R()(),,,jmjmjmfxcxψ∗∈=∑Z()(),,,jmjmjmfxcxψ∗∈=∑Z(),jnxψ∗()(),,,jmjmcfxxψ∗∗=()(),,,jmjmjmfxcxψ∗∈=∑Z数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•根据第一种表示方法，给出双正交小波的正、