§14.2-函数的幂级数展开--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、泰勒级数二、初等函数的幂级数展开式由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.§14.2函数的幂级数展开数学分析第十四章幂级数*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十四章幂级数高等教育出版社在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx这里为()nRx拉格朗日型余项(1)10()()(),(2)(1)!nnnfRxxxn()00()()(),(1)!nnnfxxxRxn其中在x与x0之间,称(1)式为f在点0x的泰勒公式.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式泰勒级数则后退前进目录退出数学分析第十四章幂级数高等教育出版社()nRx0()nxx由于余项是关于的高阶无穷小,在点0x附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论.再进一步,设函数f在0xx处存在任意阶导数,就可以由函数f得到一个幂级数200000()()()()()2!fxfxfxxxxx()00()(),(3)!nnfxxxn通常称(3)式为f在0xx处的泰勒级数.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式因此数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例1由于函数21e,0,()0,0xxfxx在0x处的任意阶导数都等于0(见第六章§4第二段末尾),()(0)0,1,2,,nfn§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对于级数(3)是否能在点0x附近确切地表达f,0x说级数(3)在点附近的和函数是否就是f本身,就是本节所要着重讨论的问题.这即或者请先看一个例子.因此f在0x的泰勒级数为20000.2!!nxxxn数学分析第十四章幂级数高等教育出版社(,)()0Sx显然它在上收敛,且其和函数.0x()()fxSx由此看到,对一切都有.上例说明,具有任意阶导数的函数,都能收敛于该函数本身,那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢?§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式泰勒级数并不哪怕在很小的一个邻域内.定理14.11上等于它的泰勒级数的和函数的充0||xxr对一切满足不等式的x,有lim()0,nnRx()nRx0x是f在点这里泰勒公式的余项.设f在点0x具有任意阶导数,00(,)xrxr那么f在区间分条件是:数学分析第十四章幂级数高等教育出版社如果f能在点0x的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式0x的这一邻域内可展开成泰勒级数,则称函数f在点200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx()00()()(4)!nnfxxxn并称等式的右边为f在0xx处的泰勒展开式,或幂级数展开式.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社()2(0)(0)(0)(0),1!2!!nnffffxxxn称为麦克劳林级数.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式由级数的逐项求导性质可得:即幂级数展开式是唯一的.收敛区间(,)RR上的和函数,(,)RR上的泰勒展开式,0nnnax就是f在则0nnnax若f为幂级数在在实际应用上,主要讨论函数在00x处的展开式:数学分析第十四章幂级数高等教育出版社(1)01()()()d,!xnnnRxftxttn(1)11()(),0,(1)!nnnRxfxxn在与之间(1)11()()(1),01.!nnnnRxfxxn§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式从定理14.11知道,下面列出当00x时的积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,以便于后面的讨论.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例2求下面k次多项式函数的幂级数展开式.2012().kkfxccxcxcx解由于()!,,(0)0,,nnncnkfnklim()0,nnRx总有()2(0)(0)()(0)(0)2!!kkfffxffxxxk即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.2012,kkccxcxcx§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式因而数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例3求函数f(x)=ex的幂级数展开式.解()()()e,(0)1(1,2,),nxnfxfn由于1e()(01).(1)!xnnRxxn显见||1e|()|||.(1)!xnnRxxn||1elim||0,(1)!xnnxn于是对任何实数x,lim()0.nnRx因而§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式f因此的拉格朗日余项为都有数学分析第十四章幂级数高等教育出版社14.11由定理得到2111e1,(,).1!2!!xnxxxxnexy()3n()0nx11O22462y()2n§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例4()sin,fxx对于正弦函数()π()sin,1,2,.2nnfxxn1πsin+(1)2()(1)!nnnRxxn()sinfxx(,)所以在上可以展开为麦克劳().nfRx现在考察的拉格朗日型余项林级数:35211sin(1).3!5!(21)!nnxxxxxn§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式有,n因为时1||0,(1)!nxn数学分析第十四章幂级数高等教育出版社同样可证(或用逐项求导),在(,)上有242cos1(1).2!4!(2)!nnxxxxn§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例5()ln(1)fxx函数的各阶导数是()1(1)!()(1),(1)nnnnfxx()1(0)(1)(1)!,nnfn所以ln(1)x的麦克劳林级数是2341(1).(5)234nnxxxxxn用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径1R,且1x1x当时收敛,时发散,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式故级数(5)的收敛域(1,1]是.下面讨论在(1,1]上它的余项的极限.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社当01x时,11(1)!|()|(1)!(1)nnnnnRxxn10().1nn当10x时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.111!|()|(1)(1)!(1)nnnnnnRxxnx111||,01.11nnxxx§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对拉格朗日型余项,有此时有11(1)1nxn数学分析第十四章幂级数高等教育出版社10,11,xx因故1||()0().1||nnxRxnx所以(1,1]ln(1)x这就证得在上的幂级数展开式就是(5).1x，将(5)式中x换成()lnfxx就得到函数1x在处的泰勒展开式:21(1)(1)ln(1)(1),2nnxxxxn其收敛域为(0,2].§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式101.1x即数学分析第十四章幂级数高等教育出版社例6讨论二项式函数()(1)fxx的展开式.解当为正整数时,就是例2.下面讨论不等于正整数时的情形,()()(1)(1)(1),1,2,,nnfxnxn()(0)(1)(1),1,2,,nfnn于是()fx的麦克劳林级数是2(1)12!xx(1)(1).(6)!nnxn§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式这时1R运用比式法,可得(6)的收敛半径.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社11(1)()1()(1),!1nnnnRxxxnx01.由比式判别法,10(1)()||1,!nnnxxn级数当时收敛1(1)()lim0.!nnnxn§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式在内考察它的柯西型余项(1,1)故有11,11,01,1xxx又有且11.1nx从而有数学分析第十四章幂级数高等教育出版社111||1,0(1)(1||)2.xxx再当时有11(1);xn于是当时是与无关的有界量1当时，也有同样结论.所以在(1,1)()(1)fxx上的展开式为§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式lim()0.nnRx,||1,x综上所述当时2(1)(1)12!xxx(1)(1)(7)!nnxn对于收敛区间端点的情形,与的取值有关:数学分析第十四章幂级数高等教育出版社11x12当时得到11x§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式(7)1当式中时就得到1,(1,1);当时收敛域为10,(1,1];当时收敛域为0,[1,1].当时收敛域为21(1),(1,1).(8)nnxxxx231131351,(1,1].(9)224246xxxx数学分析第十四章幂级数高等教育出版社一般来说,只有比较简单的函数,根据幂级数展开式的唯一性,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式间接地求得函数的幂级数展开式.其幂级数展开式能在更多情况下可以从已知的展开通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项前面的展开幂级数的方法,称为直接展开法.用直接展开法求得.式出发,求积等方法，这就是间接展开的根据.不管用什么方法得到的幂级数的系数都是一样的.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社2x2x例7以与分别代入(8)与(9)式,可得211x211x对(10)、(11)分别逐项求积可得§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式201arctand1xxttxxx3535nnxn21(1),[1,1],21221(1),(1,1),(10)nnxx241131,(1,1).(11)224xx201arcsind1xxtt357113135,[1,1].232452467xxxx数学分析第十四章幂级数高等教育出版社11ln(1)(1)(1,1],nnnxxxn利用，得111nnnnxxnn221nnnnxxxnn2[1,1).(1nnxxxnn，）(1)ln(1)xx0x例8求在处的幂级数展开式.1ln(1)[1,1)nnxxxn，1(1)ln(1)(1)()nxnnxxx因此§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式解熟练掌握某些初等函数的展开式，对于今后用间接方法求幂级数展开十分方便.特别是例3～例7的结果,数学分析第十四章幂级数高等教育出版社2[](1)nnxxnn由于的收敛域为-1,1，－