§13.1--级数的收敛性--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛判别法对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.§13.1级数的收敛性数学分析第十三章函数列与函数项级数*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社设12,,,,(1)nfff是一列定义在同一数集E上的函数,上的函数列.{},1,2,.nnffn或以0xE代入(1),10200(),(),,(),.(2)nfxfxfx§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法(1)也可记为可得数列函数列及其一致收敛性后退前进目录退出称为定义在E数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社0x0x如果数列(2)收敛,则称函数列(1)在点收敛,称为函数列(1)的收敛点.列(1)在点发散.0x当函数列(1)在数集上每一DE点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.x{()}nfx一点都有数列的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数列(1)的极限函数.lim()(),nnfxfxxD§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法如果数列(2)发散,则称函数这时D上每若将此极限函数记作f,则有或()()(),.nfxfxnxD数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社函数列极限的定义NxD对每一固定的,任给正数,数N,(注意:一般说来N值与和的值都有关,x,x)表示三者之间的依赖关系)所以有时也用N(使当nN时,总有|()()|.nfxfx使函数列{}nf收敛的全体收敛点集合,称为函数列{}nf的收敛域.§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法总存在正数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例1(),1,2,,nnfxxn设为定义在(-)上的函数列,证明它的收敛域是(1,1],且有极限函数0,||1,()1,1.xfxx0(1),0||1,x任给不妨设当时|()()|||,nnfxfxxln(,),(,)ln||NxnNxx只要取当时,|()()|||||.nNnfxfxxx§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法由于证就有数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社01,xx当和时|(0)(0)|0nff，|(1)(1)|0.nff所表示的函数.||1||(),nxxn当时,有又1,1,1,1,对应的数列为显然是发散的.{}nx(1,1]所以函数列在区间外都是发散的.故所讨论的函数列的收敛域是(1,1].这就证明了在(,1]上收敛,{}nf1§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法对任何正整数n,都有1,x当时且极限就是(3)式数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例2sin(,)(),nnxfxn定义在上的函数列1,2,.nsin1,nxnn10,,nN故对任给的只要就有sin0.nxn,x由于对任何实数都有所以函数列sin(,),nxn的收敛域为()0.fx极限函数为§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社注对于函数列,仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法例如,能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出重要的是要研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系.极限函数的连续性和可导性;必须对它在D上的收敛性或极限函数的导数或积分是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论,提出更高的要求才行.不够的,数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定义1设函数列{}nff与函数定义在同一D数集上,,,N若对任给的正数总存在某一正整数nN,xD对一切都有时，|()()|nfxfx，{}nfDf则称函数列在上一致收敛于,记作()()(),.nfxfxnxD§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法由定义看到,一致收敛就是对D上任何一点,使当于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现为:函数列趋与相对应的N仅与有关,而与x在D上的取值无关,().N因而把这个对所有x都适用的N写作数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例2中的函数列sinnxn是一致收敛的,§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法,x正数不论(-,+)因为对任意给定的取上什么值,N1只要取，,nN当时恒有sin.nxnsin()0nxfxn所以函数列在(-,+)上一致收敛于.显然,若函数列nf在D上一致收敛,则必在D上每一点都收敛.它在D上不一定一致收敛.反之,在D上每一点都收敛的函数列,数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社在D上不一致收敛于f的正面陈述是:nf函数列存在某正数0,对任何正数N,必定存在0xD和00xn与的取值与N有关),(注意:0nN正整数使得§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法0000()().nfxfx(0,1)0.nx在上不可能一致收敛于由例1中知道,下面来证明这个结论.事实上,若取01,2,2N对任何正整数10011(0,1),NnNxN取正整数及就有001101.2nxN数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社nff函数列一致收敛于的几何意义:号大于N的所有曲线()yfx都落在曲线与()yfx所夹的带状区域之内.()(),nyfxnN00,N,对于序yOxba()yfx()yfx()yfx()nyfx图13-1§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社就是存在某个预预先给定的{}(0,1)nx函数列在区间上不一致收敛1xyxO2x113x不能全部落在由与yy夹成的带状区域内.(1)b上,§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法(1),总存在某条曲线(),nyxnN从几何意义上看nx所以在0,b上是一致收敛的.yy和所夹成的带状nyx曲线就全部落在ln(01),lnnb其中只要无论N多么大,只限于在区间{}nx若函数列[0,]b则容易看到,区域内，数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{}nfD在数集上一致收敛的充要条件是:对任给正数,,,nmN时总存在正数N,使当xD对一切,都有|()()|.(4)nmfxfx即对证必要性§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法存在正数N,使得当nN时,任给0,都有|()()|.(5)2nfxfx,nmN于是当,由(5)得|()()||()()||()()|nmnmfxfxfxfxfxfx()()(),,nfxfxnxD设,xD对一切.22数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社充分性若条件(4)成立,由数列收敛的柯西准则,在D上任一点都收敛,{}nf§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法(4),,nm现固定式中的让xD对一切都有|()()|.nfxfx由定义1知,()()(),.nfxfxnxD定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{}nfD在数集上一致收敛的充要条件是:对任给正数,,,nmN总存在正数N,使当xD对一切,都有|()()|.(4)nmfxfx,nN于是当时(),.fxxD记其极限函数为数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社定理13.2（余项准则）根据一致收敛定义可推出下述定理:limsup|()()|0.(6)nnxDfxfx则对任证必要性()()(),.nfxfxnxD若§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法{}nffD函数列在区间上一致收敛于的充分必要条件是:由上确界的定义,对所有nN,也有sup|()()|.nxDfxfx这就得到了(6)式.有|()()|,.nfxfxxD给的正数,存在不依赖于x的正整数N,nN当时,数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社充分性由假设,对任给0,存在正整数N,使得nN当时,有sup|()()|.(7)nxDfxfx,xD因为对一切总有|()()|sup|()()|.nnxDfxfxfxfx故由(7)式得()(),nfxfx§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法定理13.2（余项准则）limsup|()()|0.(6)nnxDfxfx{}nffD函数列在区间上一致收敛于的充分必要条件是:.nfDf于是在上一致收敛于数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法注柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致收敛，较为方便.(,)sin1limsup0lim0,nnxnxnnsin(,),0().nxnn所以在上而使用余项准则需要知道极限函数,但使用如例2,由于推论函数列在D上不一致收敛于f的充分必要条件是:{}nf存在{},nxD|()()|nnnfxfx使得不收敛于0.数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例3定义在[0,1]上的函数列2212,0,211()22,,1,2,,(8)210,1,nnxxnfxnnxxnnnxn(0)0,nf由于(0)f故lim(0)0.nnf01,x当时1,nx只要就有()0,nfx(0,1]故在上有()lim()0.nnfxfx§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社1,2,3n其中的图像如图13-3所示.(8)[0,1]于是在上的极限函数()0.fx为[0,1]1sup()()(),2nnxfxfxfnnn所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛.133图()fx11f2f3f12131614213xyO§1级数的收敛性函数列及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性函数项级数的一致收敛性判别法又由于数学分析第十三章函数列与函数项级数高等教育出版社例4讨论函数例222{()e},[0,1]nxnfxnxx的一致收敛性.解为了使用余项准则,首先求出函数列的极限函数.易见222()lim()lime0,[0,1],nxnnnfxfxnxx于是222|()(0)|e.nxnfxfn