复习构想高三文科第四章平面向量1.4.1

4．1平面向量的概念及线性运算考纲点击1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义.说基础课前预习读教材考点梳理一、向量的有关概念及表示方法1．向量的有关概念名称定义备注向量既有①______又有②______的量；向量的大小叫做向量的③____(或④______)平面向量是自由向量零向量长度为⑤______的向量；其方向是任意的记作⑥__________①大小②方向③模④长度⑤零⑥0单位向量长度等于⑦________________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向⑧______或⑨______的非零向量共线向量○10____________向量又叫做共线向量0与任一向量⑪______或共线⑦1个单位长度⑧相同⑨相反⑩方向相同或相反⑪平行相等向量长度⑫________且方向⑬________的向量相反向量长度⑭________且方向⑮________的向量0的相反向量为0⑫相等⑬相同⑭相等⑮相反2.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，AB→等．(2)几何表示法：用一条⑯__________表示向量．⑯有向线段二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算⑰______法则⑱________法则(1)交换律：a＋b＝⑲______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝⑳____________.⑯有向线段⑰三角形⑱平行四边形⑲b＋a⑳a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差○21________法则a－b＝a＋(－b)○21三角形数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝○22____.(2)当λ＞0时，λa与a的方向○23______；当λ＜0时，λa与a的方向○24______；当λ＝0时，λa＝○25______λ(μa)＝○26____；(λ＋μ)a＝○27__________；λ(a＋b)＝○28__________.○22|λ||a|○23相同○24相反○250○26λμa○27λa＋μa○28λa＋λb考点自测1.下列等式不正确的是()A．a＋0＝aB．a＋b＝b＋aC.AB→＋BA→≠0D.AC→＝DC→＋AB→＋BD→解析：方法一：∵AB→与BA→为相反向量，∴AB→＋BA→＝0，∴C不正确．方法二：AB→＋BA→＝(OB→－OA→)＋(OA→－OB→)＝OB→－OB→－OA→＋OA→＝0.∴C不正确．答案：C2．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB→＝DC→B.AD→＋AB→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0解析：A显然正确，由平行四边形法则知B正确.AB→－AD→＝DB→，故C错误．D中AD→＋CB→＝AD→＋DA→＝0.答案：C3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b解析：如图所示，∵E是OD的中点，∴OE→＝14BD→＝14b.又∵△ABE∽△FDE，∴AEEF＝BEDE＝31，∴AE→＝3EF→，∴AE→＝34AF→.在△AOE中，AE→＝AO→＋OE→＝12a＋14b.∴AF→＝43AE→＝23a＋13b.答案：B4．若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→等于()A．b＋12aB．b－12aC．a＋12bD．a－12b解析：如图所示，BE→＝BC→＋CE→＝AD→－12AB→＝b－12a.答案：B5．设四边形ABCD中，有DC→＝12AB→，且|AD→|＝|BC→|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：由DC→＝12AB→知四边形ABCD是梯形，又|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD是等腰梯形，故选C.答案：C说考点拓展延伸串知识疑点清源1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.题型探究题型一平面向量的基本概念例1判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向．(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b.(4)不正确．由零向量性质可得0与任一向量平行，可知④不正确．(5)不正确．若向量AB→与向量CD→是共线向量，则向量AB→与CD→所在的直线平行或重合，因此，A，B，C，D不一定共线．(6)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的．点评：对于向量中的零向量、平行向量、相等向量等概念，应有正确认识，才能做出正确解答．变式探究1判断下列各命题是否正确：(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)单位向量都相等；(3)向量就是有向线段；(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；(6)若a∥b，b∥c，则a∥c；(7)若四边形ABCD是平行四边形，则AB→＝DC→，BC→＝DA→.解析：(1)该命题不正确．|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(2)该命题不正确．单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；(3)该命题不正确．有向线段有三个要素：起点、终点与长度，向量有两个要素：大小与方向．有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；(4)该命题正确．因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则其终点必重合；(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(6)该命题不正确．若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0，0∥c，但ac；(7)该命题不正确．如图所示，显然有AB→＝DC→，但BC→≠DA→.题型二平面向量的线性运算例2如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.解析：∵BA→＝OA→－OB→＝a－b，BM→＝16BA→＝16a－16b.∴OM→＝OB→＋BM→＝16a＋56b.又OD→＝a＋b，ON→＝OC→＋13CD→＝12OD→＋16OD→＝23OD→.∴ON→＝23a＋23b∴MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.即有OM→＝16a＋56b，ON→＝23a＋23b，MN→＝12a－16b.点评：本例中应用了向量的加减法运算，注意了M、N将AB和OP所分成的比例，以达到用a，b来表示的目的．变式探究2在△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.解析：DE→∥BC→，AD→＝23AB→⇒AE→＝23AC→＝23b，BC→＝AC→－AB→＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，得DN→＝12DE→＝13(b－a)．又AM→＝12(a＋b)．△ADN∽△ABM，AD→＝23AB→⇒AN→＝23AM→＝13(a＋b).题型三共线向量例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解析：(1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.点评：①向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．②证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．变式探究3(1)设两个非零向量e1、e2不共线，如果AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线；(2)设e1、e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．解析：(1)∵BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，∴BD→＝10e1＋15e2.又∵AB→＝2e1＋3e2，∴BD→＝5AB→，即BD→∥AB→，又∵公共点为B，∴A，B，D三点共线．(2)∵DB→＝CB→－CD→＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，AB→＝2e1＋ke2，又∵A，B，D共线，∴AB→∥DB→，设DB→＝λAB→，则4e2＝λke2，－e1＝2λe1，∴λ＝－12，k＝－8，即k＝－8.归纳总结•方法与技巧1．将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量．3．通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别．•失误与防范1．0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行．2．由a∥b，b∥c不能得到a∥c.取不共线的向量a与c，显然有a∥0，c∥0.3．注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.新题速递1.(2013·武汉调研)如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则EF→等于()A.12AB→－13AD→B.23AB→＋12AD→C.13AB→－12AD→D.12AB→－23AD→解析：EF→＝EC→＋CF→＝12AB→＋23CB→＝12AB→－23AD→.答案：D2．(2013·聊城月考)已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足PA→＋PB→＋PC→＝0，且AB→＋AC→＝mAP→，那么实数m的值为()A．2B．3C．4D．5解析：由PA→＋PB→＋PC→＝0得P为三角形ABC的重心，根据重心分中线两段之比为2∶1得AB→＋AC→＝3AP→，故m＝3.答案：B3．(2013·潍坊联考)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC→＝2BD→，CE→＝2E