生长模型的特征分析及应用

1生长模型的特征分析及应用摘要：本文主要通过肿瘤动态生长模型的分析，运用微分方程的知识，求其初始条件下的模型的通解，并从其曲线变化情况，微分方程的分析两个方面，比较了两种生长模型Logistic和Gompertz，得出哪种模型更适合肿瘤的生长规律。然后通过计算得出这两种模型都是USER模型的特例的结论。重点分析了USER模型的参数变化引起模型的变化情况。我们由此能够选择参数的大概位置，并通过数据拟合来确定USER模型最终情形，这样更好的符合研究对象的动态变化。作为预测模型它具有重要的现实意义。总之本文从简单到复杂，由浅入深。最后帮助我们更好的认识各种生长模型，更好的运用所学的知识解决现实问题。Summary:thisarticlemainlythroughtheanalysisofthedynamicgrowthmodeltumor,usingdifferentialequationofknowledge,foritsinitialconditionsofthemodelisobtained.Fromitscurvechanges,theanalysisofthedifferentialequation,wecomparedthetwoaspectsoftwogrowthmodelthatGompertz,whatwithLogisticmodelismoresuitablefortumorgrowthruleconclusion.ThenthroughthecalculationcanfindthesetwokindsofmodelisaspecialcaseoftheUSERmodel.ThispaperanalyzestheUSERmodelparameterschangemodelchanges.Wecanchooseparameters,andthroughtheapproximatelocationofdatafittingtodeterminethefinalUSERmodelsituation.Sobettermeetthedynamicchangeregulationofthestudy.Aspredictionmodelithastheimportantpracticalsignificance.Inthispaper,startingfromsimpletocomplex,helpusbetterunderstandvariousgrowthmodel,betteruseofknowledgesolvepracticalproblem.关键词：Logistic；Gompertz；Usher；肿瘤；形状因子。一.问题背景建立肿瘤生长模型。通过大量医疗实践发现肿瘤细胞有下列现象：1）当肿瘤细胞数目超过10^11才是临床可观察的；2）在肿瘤生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3）由于各种生理条件的限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值。二.问题描述1比较Logistic模型与Gompertz模型：Nnndnlndt其中n（t）是细胞数，N是极限值其中是参数。2说明上述两个模型是Usher模型：2)1()(Nnndtdn的特例。三.Logistic模型回顾)1(Nnndtdn上式中为增长率，N为环境最大量。2N为拐点。n(0)=n0求解得四．Gompertz模型分析微分方程为：Nnndnlndt分析该微分方程在n(0)=n0的解为teNnNetn)(ln0)(，通过计算（见附录）有以下性质：t时n(t)N;t较小时et1-t，n(t)entNn)(ln00,即增长率nNr0ln的指数增长模型；neN，22dtnd0，neN，22dtnd0，n=eN，是曲线的拐点。teNNtnn)1(1)(03五.Gompertz与Logistic模型的图形比较n(t)NGompertzLogistict对于上述两种模型，我们可以发现当t较小时Gompertz模型近似于指数增长，共同点是两种模型都接近N值。由于对于肿瘤生长规律，可观察的初始值很大，Gompertz模型中通解中有对数起到了降维的作用，在实际的数据拟合中能够提高计算精度，而且便于计算。综上所述Gompertz较之Logistic更适合我们的研究对象肿瘤生长规律。接下来我们要研究另外一种模型，通过计算它和前面两种模型都存在联系。因此你也会发现为什么我们刚刚研究的两种模型为什么会有那么多的共同点了。六.Usher模型)1()(Nnndtdn=1时，即为Logistic模型；0时，取极限（根据洛必达法则，上下求导计算可见附录）可化为Gompertz模型。对于Usher模型,将（Nn）看成自变量，考虑))(1(1Nn在取不同值的情况下观察该变化因子的变化情况（如下图），我们可以发现随着值的减小曲012Nn0eN4线变得越来越陡峭。=1时曲线呈线性变化。由此我们可以推测在使用Usher模型时的选择很重要。我们在这里将它称为形状因子。对于不同的研究对象应选择不同的值，我们可以利用这个规律在我们选择值时给我们指明方向。)(NnfNn结论：Logistic和.Gompertz存在着联系，两者均是Usher模型的特例。Gompertz模型更适合肿瘤生长规律。Usher模型中形状因子越小，速率变化越大。10123