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专题突破3立体几何整合立体几何是高中数学的重要内容之一.在历年高考试卷中被定位于中、低档题.各种题型均有出现,一般是“一小(或两解答题).作为文科的立体几何,考查最多的还是关于平行、垂直的证明,在备考时应得到强化!小)一大”.重视新增..的“三视图”(2007年与2009年两次涉及第1课时三视图三视图是高考的新增考点,经常以一道客观题的形式出现,有时也和其他知识综合作为解答题出现,解题的关键还是要将三视图转化为简单几何体,或者其直观图.例1:(2013年广东广州二模)已知四棱锥P-ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形,图1、图2分别是四棱锥P-ABCD的侧视图和俯视图.(1)求证:AD⊥PC;(2)求四棱锥P-ABCD的侧面PAB的面积.图1图2(1)证明:依题意,可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E,连接PE(如图3),则PE⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD,∴AD⊥PE.∵AD⊥CD,CD∩PE=E,CD⊂平面图3PCD,PE⊂平面PCD,∴AD⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD,∴AD⊥PC.(2)解:依题意,在等腰三角形PCD中,PC=PD=3,DE=EC=2,在Rt△PED中,过E作EF⊥AB,垂足为F,连接PF(如图3),∵PE⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥PE.∵EF⊂平面PEF,PE⊂平面PEF,EF∩PE=E,∴AB⊥平面PEF.PE=PD2-DE2=5,易错提醒:三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则,即“正、俯视图一样长,正、侧视图一样高,俯、侧视图一样宽”.∵PF⊂平面PEF,∴AB⊥PF.依题意得EF=AD=2.∴四棱锥P-ABCD的侧面PAB的面积为6.在Rt△PEF中,PF=PE2+EF2=3,∴△PAB的面积为S=12·AB·PF=6.【突破训练】1.(2013年广东汕头二模)一个三棱柱ABC-A1B1C1直观图和三视图如图4所示(主视图、俯视图都是矩形,左视图是直角三角形),设E,F分别为AA1和B1C1的中点.(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)证明:A1F∥平面EBC1;(3)证明:平面EBC⊥平面EB1C1.图4解:(1)由题可知,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,B1B⊥底面ABC,且底面△ABC是直角三角形,AB⊥BC,AB=1,BC=,BB1=2,3三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·BB1=12×3×1×2=3.(2)如图D45,取BC1的中点M,连接EM,FM,∵E、F分别为AA1和B1C1的中点,∴四边形MFA1E为平行四边形,∴A1F∥EM,图D45又EM⊂平面EBC1,A1F⊄平面EBC1,∴A1F∥平面EBC1.(3)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,B1B⊥底面ABC,∴BE2=AB2+AE2=2,∴B1E2=+A1E2=2,又BB1=2,∴BE2+B1E2=,∴BE⊥B1E,∴B1C1⊥BE,由BE⊥B1E,B1C1⊥BE,B1E∩B1C1=B1,得BE⊥平面EB1C1,又BE⊂平面EBC,∴平面EBC⊥平面EB1C1.211AB21BB又B1C1⊥A1B1B1C1⊥BB1A1B1∩BB1=B1⇒B1C1⊥平面AA1B1B,平行与垂直关系在立体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本的问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力.例2:如图5,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;图5(3)求三棱锥E-ADC的体积.(1)证明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE.∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE.(2)证明:连接GF,∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE.∵BE=BC,∴F为EC的中点.∵在矩形ABCD中,G为AC中点,∴GF∥AE.∵AE⊄平面BFD,GF⊂平面BFD,∴AE∥平面BFD.(3)解:取AB中点O,连接OE,∵AE=EB,∴OE⊥AB.∵AD⊥平面ABE,∴OE⊥AD.∴OE⊥平面ADC.∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.∴AB=AE2+BE2=22.∴OE=12AB=2,故三棱锥E-ADC的体积为:VE-ADC=13S△ADC·OE=13×12×2×22×2=43.【突破训练】2.(2012年广东深圳二模)如图6,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,E,F分别在棱BB1,DD1上,且AF∥EC1.(1)求证:AE∥FC1;(2)若AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是边长为的正方形,且BE=1,DF=2,求线段CC1的长,并证明:AC⊥EC1.图66证明:(1)∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,∴AA1∥DD1,AB∥CD.∵DD1,CD⊂平面CDD1C1,AA1,AB⊄平面CDD1C1,∴AA1∥平面CDD1C1,AB∥平面CDD1C1,∵AA1,AB⊂平面ABB1A1,AA1∩AB=A,∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1.∵AF∥EC1,∴A,E,C1,F四点共面.∵平面AEC1F∩平面ABB1A1=AE,平面AEC1F∩平面CDD1C1=FC1,∴AE∥FC1.(2)连接BD,EF.设AC∩BD=O,AC1∩EF=O1,∵四边形ABCD,四边形AEC1F都是平行四边形,∴O为AC,BD的中点,O1为AC1,EF的中点.连接OO1,如图D46,由(1),知BE∥DF,∵BE=1,DF=2,∴CC1=3.∵AA1⊥平面ABCD,四边形AEC1F是正方形,图D46从而OO1=12CC1=12(BE+DF).∴△ACC1,△ABE,△ADF均为直角三角形,得AB2=AE2-BE2=6-1=5,BC2=AD2=AF2-DF2=6-4=2.∴AC2+BC2=AB2=5,即AC⊥BC.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.∵BC,BB1⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.∵EC1⊂平面BB1C1C,∴AC⊥EC1.AC2=AC21-CC21=2AE2-CC21=12-9=3,空间角及空间距离立体几何中的直线与平面的位置关系,以及空间的三种角,是高考的必考内容,都可以采用传统的方法来处理,对于直线与平面间几种位置关系,可采用平行垂直间的转化关系来证明,对于异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为相交直线所成的角来处理.例3:(2011年天津)如图7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB∥平面ACM;(2)证明:AD⊥平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.图7(1)证明:如图8,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,图8所以∠DAC=90°.即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD.因为AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.(3)解:如图8,取DO的中点N,连接MN,AN,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.所以MN∥PO,MN=12PO=1.在Rt△DAO中,AD=1,AO=12,所以DO=52.从而AN=12DO=54.【思维点拨】本题主要考查立体几何中传统的平行与垂直关系,并且考查了线面所成的角,难度并不是太大,旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力.【易错警示】证明过程叙述要规范,求线面所成的角的关键是找到所求的角.在Rt△ANM中,tan∠MAN=MNAN=154=455.直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.【突破训练】3.(2011年广东)如图9,在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AD⊥平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.图92(1)证明:如图D47,设AD中点为H,连接PH,BH.图D47∵PA=PD,∴PH⊥AD.AH=12,AB=1,∠DAB=60°,可得出BH=32,从而AH2+BH2=AB2,∴AH⊥HB,即AD⊥HB.∴AD⊥平面PHB.又E,F分别是BC,PC的中点,∴EF∥PB.∴EF∥平面PHB.又BH∥DE,∴DE∥平面PHB.又DE,EF⊂平面DEF,DE∩EF=E,∴平面DEF∥平面PHB.∵AD⊥平面PHB,∴AD⊥平面DEF.(2)解:由(1)知,PH⊥AD,BH⊥AD,且PH⊂面PAD,BH⊂面BAD,∴∠PHB就是二面角P-AD-B的平面角.可得PH=22-122=72,BH=32,PB=2,∴cos∠PHB=PH2+BH2-PB22PH·BH=74+34-42×72×32=-32212=-321=-217,即二面角P-AD-B的余弦值为-217.
本文标题:[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第三部分 专题突破3 立体几何整合 第1课时 [配套
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