[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第三部分 专题突破3 立体几何整合 第1课时 [配套

专题突破3立体几何整合立体几何是高中数学的重要内容之一．在历年高考试卷中被定位于中、低档题．各种题型均有出现，一般是“一小(或两解答题)．作为文科的立体几何，考查最多的还是关于平行、垂直的证明，在备考时应得到强化！小)一大”．重视新增．．的“三视图”(2007年与2009年两次涉及第1课时三视图三视图是高考的新增考点，经常以一道客观题的形式出现，有时也和其他知识综合作为解答题出现，解题的关键还是要将三视图转化为简单几何体，或者其直观图．例1：(2013年广东广州二模)已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．(1)求证：AD⊥PC；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积.图1图2(1)证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE(如图3)，则PE⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PE.∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD⊂平面图3PCD，PE⊂平面PCD，∴AD⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC.(2)解：依题意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，在Rt△PED中，过E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF(如图3)，∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PE.∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE＝E，∴AB⊥平面PEF.PE＝PD2－DE2＝5，易错提醒：三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”．∵PF⊂平面PEF，∴AB⊥PF.依题意得EF＝AD＝2.∴四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积为6.在Rt△PEF中，PF＝PE2＋EF2＝3,∴△PAB的面积为S＝12·AB·PF＝6.【突破训练】1．(2013年广东汕头二模)一个三棱柱ABC－A1B1C1直观图和三视图如图4所示(主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形)，设E，F分别为AA1和B1C1的中点．(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)证明：A1F∥平面EBC1；(3)证明：平面EBC⊥平面EB1C1.图4解：(1)由题可知，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，B1B⊥底面ABC，且底面△ABC是直角三角形，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，BB1＝2，3三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·BB1＝12×3×1×2＝3.(2)如图D45，取BC1的中点M，连接EM，FM,∵E、F分别为AA1和B1C1的中点，∴四边形MFA1E为平行四边形，∴A1F∥EM,图D45又EM⊂平面EBC1，A1F⊄平面EBC1，∴A1F∥平面EBC1.(3)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，B1B⊥底面ABC，∴BE2＝AB2＋AE2＝2，∴B1E2＝＋A1E2＝2，又BB1＝2，∴BE2＋B1E2＝，∴BE⊥B1E，∴B1C1⊥BE，由BE⊥B1E，B1C1⊥BE，B1E∩B1C1＝B1，得BE⊥平面EB1C1，又BE⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB1C1.211AB21BB又B1C1⊥A1B1B1C1⊥BB1A1B1∩BB1＝B1⇒B1C1⊥平面AA1B1B，平行与垂直关系在立体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本的问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．例2：如图5，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC＝G.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE∥平面BFD；图5(3)求三棱锥E－ADC的体积．(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE.∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.(2)证明：连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE.∵BE＝BC，∴F为EC的中点．∵在矩形ABCD中，G为AC中点，∴GF∥AE.∵AE⊄平面BFD，GF⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD.(3)解：取AB中点O，连接OE，∵AE＝EB，∴OE⊥AB.∵AD⊥平面ABE，∴OE⊥AD.∴OE⊥平面ADC.∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB.∴AB＝AE2＋BE2＝22.∴OE＝12AB＝2，故三棱锥E－ADC的体积为：VE－ADC＝13S△ADC·OE＝13×12×2×22×2＝43.【突破训练】2．(2012年广东深圳二模)如图6，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，E，F分别在棱BB1，DD1上，且AF∥EC1.(1)求证：AE∥FC1；(2)若AA1⊥平面ABCD，四边形AEC1F是边长为的正方形，且BE＝1，DF＝2，求线段CC1的长，并证明：AC⊥EC1.图66证明：(1)∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，∴AA1∥DD1，AB∥CD.∵DD1，CD⊂平面CDD1C1，AA1，AB⊄平面CDD1C1，∴AA1∥平面CDD1C1，AB∥平面CDD1C1，∵AA1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1.∵AF∥EC1，∴A，E，C1，F四点共面．∵平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，平面AEC1F∩平面CDD1C1＝FC1，∴AE∥FC1.(2)连接BD，EF.设AC∩BD＝O，AC1∩EF＝O1，∵四边形ABCD，四边形AEC1F都是平行四边形，∴O为AC，BD的中点，O1为AC1，EF的中点．连接OO1，如图D46，由(1)，知BE∥DF，∵BE＝1，DF＝2，∴CC1＝3.∵AA1⊥平面ABCD，四边形AEC1F是正方形，图D46从而OO1＝12CC1＝12(BE＋DF)．∴△ACC1，△ABE，△ADF均为直角三角形，得AB2＝AE2－BE2＝6－1＝5，BC2＝AD2＝AF2－DF2＝6－4＝2.∴AC2＋BC2＝AB2＝5，即AC⊥BC.∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1.∵BC，BB1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.∵EC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥EC1.AC2＝AC21－CC21＝2AE2－CC21＝12－9＝3，空间角及空间距离立体几何中的直线与平面的位置关系，以及空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来处理，对于直线与平面间几种位置关系，可采用平行垂直间的转化关系来证明，对于异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为相交直线所成的角来处理．例3：(2011年天津)如图7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．图7(1)证明：如图8，连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，图8所以∠DAC＝90°.即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.因为AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)解：如图8，取DO的中点N，连接MN，AN，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．所以MN∥PO，MN＝12PO＝1.在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52.从而AN＝12DO＝54.【思维点拨】本题主要考查立体几何中传统的平行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太大，旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力．【易错警示】证明过程叙述要规范，求线面所成的角的关键是找到所求的角．在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455.直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.【突破训练】3．(2011年广东)如图9，在锥体P－ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．图92(1)证明：如图D47，设AD中点为H，连接PH，BH.图D47∵PA＝PD，∴PH⊥AD.AH＝12，AB＝1，∠DAB＝60°，可得出BH＝32，从而AH2＋BH2＝AB2，∴AH⊥HB，即AD⊥HB.∴AD⊥平面PHB.又E，F分别是BC，PC的中点，∴EF∥PB.∴EF∥平面PHB.又BH∥DE，∴DE∥平面PHB.又DE，EF⊂平面DEF，DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PHB.∵AD⊥平面PHB，∴AD⊥平面DEF.(2)解：由(1)知，PH⊥AD，BH⊥AD，且PH⊂面PAD，BH⊂面BAD，∴∠PHB就是二面角P－AD－B的平面角．可得PH＝22－122＝72，BH＝32，PB＝2，∴cos∠PHB＝PH2＋BH2－PB22PH·BH＝74＋34－42×72×32＝－32212＝－321＝－217，即二面角P－AD－B的余弦值为－217.