几种常见数列求和方法的归纳

1几种常见数列求和方法的归纳1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21)1236nknnnkn（不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+…+2n（2）求=x+++…+(x)2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。例：（1）求证：等差数列{}的前n项和dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）2222sin1sin2sin3sin89.3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例：（1）求和：(1)个nnS11111111181109101nn（2）22222)1()1()1(nnnxxxxxxS当1x时，nxxxxSnnnn2)1()1)(1(22222当nSxn4,1时24．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式：111)1(1nnnn，)121121(21)12)(12(1nnnn，1111()(2)22nnnn，)12)(12(11)12)(12()2(2nnnnn，11212322123nnnn例：（1）求和：1111,,,,,132435(2)nn.（2）求和)12)(12()2(534312222nnnSn12)1(2nnnSn5．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa(适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和)例：求和：23,2,3,,,naaana当1a时，123nS…(1)2nnn，当1a时，212(1)(1)nnnnanaaSa36．合并求和法：如求22222212979899100的和。5050练：已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；an＝n.(2)设2(1)nannnba，求数列{bn}的前2n项和．T2n＝22n＋1＋n－27．分类讨论求和（1）分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。（分组求和法的变通）。例：已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．21324(21)()23(35)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数4（2）分正负：数列中一些项为正，一些项为负。例：已知公差为d的等差数列{}na，已知110a，且1a，222a，35a成等比数列，（1）求d，na，（2）若0d，求123naaaa。4,46ndan或1,11ndan(21)112(10)(11)112nnnnSnnn