含有全称量词、存在量词的不等式成立问题转化策略

含有全称量词、存在量词的不等式成立问题转化策略湖北大学附属中学李俊函数的最值以及含参数的函数的单调性与不等式恒成立的结合一直是高考命题的热点，特别是课改教材中引入了全称量词、存在量词等知识点之后，这一热点有持续高热之势．由于全称量词与存在量词的差异，对不等式两侧函数最值的要求也体现出了差异，以下给出有关全称量词、存在量词的不等式问题的转化策略．⑴1[,]xmn，2[,]xab，12()()fxgx成立，则minmax()()fxgx；⑵1[,]xmn，2[,]xab，12()()fxgx成立，则minmin()()fxgx；⑶1[,]xmn，2[,]xab，12()()fxgx成立，则maxmin()()fxgx；⑷1[,]xmn，2[,]xab，12()()fxgx成立，则maxmax()()fxgx；⑸0[,]xmn，00()()fxgx成立，则min[()()]0fxgx；⑹0[,]xmn，00()()fxgx成立，则max[()()]0fxgx；下面用一个例子来说明以上6种情况的处理．设函数1()lnfxxaxx，[0,2]a，[1,]xe；1()lngxxxe，[1,]xe．则有221()xaxfxx，[1,]xe．由于21yxax的判别式240a，[0,2]a，故有()0fx，()fx在[1,]e上单调递增，()fx在[1,]e上的最大值为max1()()fxfeeae，最小值为min()(1)0fxf；又1()1gxx，[1,]xe，显然1()10gxx，所以()gx在[1,]e上单调递增，故()gx在[1,]e上的最大值为max1()()1gxgeee，最小值为min1()(1)1gxge；对于⑴的情况：minmin()()fxgx，则minmax1()0()11.35fxgxee，而此式恒不成立，故a；对于⑵的情况：minmin()()fxgx，则minmin1()0()10.63fxgxe，而此式恒不成立，故a；对于⑶的情况：maxmin()()fxgx，则maxmin11()()1fxeagxee，即1ae，又[0,2]a，故[0,1]ae；对于⑷的情况：maxmax()()fxgx，则maxmax11()()1fxeagxeee，即1a，又[0,2]a，故[0,1]a；对于⑸的情况：令11()()()(1)lnhxfxgxaxxe，[1,]xe，由于有1(1)10he，从而一定有min1(1)1()hhxe，即min()0hx恒不成立，故a；对于⑹的情况：令11()()()(1)lnhxfxgxaxxe，[1,]xe，2(1)1()axhxx，①当[0,1]a时，2(1)1()0axhxx，()hx在[1,]e上单调递增，有max()()10hxhea，即1a，又[0,1]a，故[0,1]a；②当(1,2]a时，令2(1)1()0axhxx，则1[1,)1xa，以下分析当(1,2]a时，11()()()(1)lnhxfxgxaxxe，(0,)x的单调性：x1(0,)1a11a1(,)1a()hx0()hx↗取极大值↘若1[1,)1ea，即1(1,2]ae时，max1111()()(1)ln(1)(1)[ln(1)1]11hxhaaaaaaee由于1()(1)[ln(1)1]aaae，1(1,2]ae是增函数，max1()(2)10ae，即max()0hx恒不成立，故a；若1[,)1ea，即1(1,1]ae时，max()()10hxhea，即1a，又1[,)1ea，故a；综合①②可知，满足条件的a的范围为[0,1]．