任意角的概念与弧度制

三角函数是刻画周期现象的一类重要的函数模型和基本的初等函数。它是生产实践和科学研究的重要数学工具。它在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学、图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用。任意角的三角函数之一角的概念的推广2.在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。一、角的相关概念：3.在图1.6中，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个正角，记作α。点O是角的顶点，射线OA、OB分别是α的始边、终边。4.如果一条射线它从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样形成的角为零度角，又称零角，记作α=0°角应包括正角、负角和零角为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为此使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合．图1-9中的30°，390°，-330°角，都是第一象限角；图1-10中的300°，-60°角，都是第四象限角；585°角是第三象限角。角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．二、象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与周角的整数倍的和．注意以下几点（1）kZ;（2）是任意角；（3）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相同的角；（4）终边相同的角有无数个，他们相差360º的整数倍；（5）k∙360º与α之间为“+”，k∙360º-α看作k∙360º+（-α）三、终边相同的角例1判定下列各角是第几象限角．(1)-60°；(2)585°；(3)-950°12′例3在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合(α用0°到360°的角表示)．例2设P={锐角}，Q={小于90的角}，M={第一象限角}，S={小于90的正角}，则下列六个关系：①P=Q②P=M③P=S④PQ⑤PM⑥QM中，正确的有个？（1）四（3）-950°12′=-2×360º+（-230º12’）（2）580°12′=360º+225º，三③④⑤（3）β={α|α=n×180º+90º，n∈Z}例7设为第三象限角，求所在象限，并画图表示在该象限的什么区域内.2例6若是第四象限角，则180-是第几象限角？例5写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来：例4在0°-360°间，找出下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.（1）-140°（2）670°（3）-850°36‘任意角的三角函数之二弧度制在物理学和日常生活中，一个量，常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们的不同需要。周角，将它分为360等分，把一等分确定为1个单位，即1度角。当半径不同时（如图1-13），同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个常数为该角度的弧度值。我们规定，在单位圆中长为1的弧所对应的圆心角称为1弧度角，它的单位符号是rad，读作弧度。一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。【角度与弧度的互化】1.360°=2πrad，180°=πrad.radrad01745.01801.2815730.57)180(1.3rad例1（1）将11230’化为弧度；（2）将弧度化为度；125例2、把下列角化为2k+（02，kZ）的形式.（1）；（2）；并指出所在象限.427631例3、用弧度制表示第一—第四象限的角的集合},22232|{};,2322|{},222|{};,222|{ZkkkZkkkZkkkZkkk75;85二;436427)1(三;674631)2(特殊角的度数与弧度数的对应表度0153045607590120135150弧度0126431252324365度180210225240270300315330360弧度6745342335476112设R是圆的半径，l是所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角α的弧度值通常也用α来表示，由弧度的定义可知，角α的弧度数的绝对值满足：rl即l=|α|R弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积。角度制时弧长公式为：其中n表示角度数。180nl弧度制时弧长公式为：例4、利用弧度制证明扇形面积公式S=lR，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。21证明：如图1-15，因为圆心角为1的扇形的面积为221R而弧长为l的扇形的圆心角的大小为radRl所以扇形的面积为221RRlSlR21360||2RnS角度制：21||2R几个需要注意的问题：1.在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；2.用弧度制表示终边相同的角2k+(kZ)时，是的偶数倍，而不是的整数倍；3.1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1是圆的1/360所对的圆心角（或该弧）的大小；4.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值；5.用弧度单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2理解为sin（2弧度）；一般弧度表示时，常写成多少的形式；但以度为单位，不能省略；例5、根据下列已知条件，解决扇形的有关问题（1）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形中心角的弧度数。（2）已知一扇形的弧为72，半径为20cm，求扇形的面积。（3）已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？2180S.2,100102此时为时，扇形的面积最大，cmcmr例6.用弧度制表示终边落在下图中阴影部分内的角的集合：oyx75330xyo225135oyx21030},125262|){1(Zkkk},432432|){2(Zkkk},216|){3(Zkkk