【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第七节 抛物线教案 文

1第七节抛物线【考纲下载】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p21．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p0)，结果如何？2提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋p2；若抛物线方程为x2＝2py(p0)，则|MF|＝y0＋p2.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析：选C由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.2．抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为()A．1B．2C．3D．4解析：选B因为抛物线y2＝4x，所以2p＝4，而焦点F到准线l的距离为p＝2.3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为()A.12，0B．(1,0)C.0，18D.0，14解析：选C将抛物线y＝2x2化成标准方程为x2＝12y，所以2p＝12，p2＝18，而抛物线x2＝12y的焦点在y轴的非负半轴上，所以焦点坐标为0，18.4．抛物线的焦点为椭圆x29＋y24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c2＝9－4＝5，得F(－5，0)，则抛物线方程为y2＝－45x.答案：y2＝－45x5．设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：Fp2，0，则Bp4，1，∴2p×p4＝1，解得p＝2.∴B24，1，因此B到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324.答案：324前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．3[典例](2013·浙江高考)已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．[解题指导](1)由抛物线的顶点、焦点即可判断抛物线的形状、大小，从而可求抛物线方程．(2)直线AB与抛物线相交，可得出A，B两点坐标之间的关系，再由AO、BO与直线l交于M，N两点，可求出|MN|的表达式，用k来表示，利用函数即可求最值．[解](1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，则p2＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y，消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理点N的横坐标xN＝84－x2.所以|MN|＝2|xM－xN|＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－x1＋x2＋16＝82k2＋1|4k－3|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t0时，|MN|＝2225t2＋6t＋122；当t0时，|MN|＝225t＋352＋1625≥852.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|的最小值是852.4[名师点评]解答本题的关键有以下几点：(1)由顶点O(0,0)，焦点F(0,1)确定抛物线的开口方向及P的值；(2)|MN|的表达式中，注意x1＋x2，x1x2及|x1－x2|的值；(3)注意4k－3＝t的换元，使问题简单．(2014·湖州模拟)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x.(2)∵l1：y＝－x，又直线l2与l1垂直，所以可设l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴交点为M.由y2＝8x，x＝y＋m得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.由韦达定理，y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝y1y2264＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴l2：x＝y＋8，M(8,0)，故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝12·|FM|·|y1－y2|＝3y1＋y22－4y1y2＝245.