高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．二、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，1a、na、n、)(qd、nS“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．三、知识内容：1.数列数列的通项公式：)2()1(111nSSnSaannn数列的前n项和：nnaaaaS3211、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．9、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系的公式．例1.已知数列na的前n项和为nnSn22,求数列na的通项公式.当1n时，111Sa,当2n≥时，34)1()1(2222nnnnnan,经检验1n时11a也适合34nan,∴34nan()nN2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的判定方法:[来源:学*科*网]（1）定义法：对于数列na，若daann1(常数)，则数列na是等差数列。（2）等差中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等差数列。等差数列的通项公式：如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1。说明：该公式整理后是关于n的一次函数。等差数列的前n项和：①2)(1nnaanS②dnnnaSn2)1(1说明：对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[来源:学#科#网Z#X#X#K]等差中项：[来源:Z_xx_k.Com]如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质：（1）等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)([来源:Z*xx*k.Com]（2）对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。2npq（n、p、*q），则2npqaaa也就是：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321（3）若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321例7.等差数列{an}中，已知113a，6113a，an=33，则n为（）(A)48(B)49(C)50(D)51例12.已知等差数列na满足1231010aaaa,则有()1101()0Aaa2100()0Baa399()0Caa51()51Da例13.已知数列na的前n项和nnSn232，求证:数列na成等差数列，并求其首项、公差、通项公式.解：12311Sa,当2n≥时,56)]1(2)1(3[23221nnnnnSSannn,1n时亦满足∴56nan,∴首项11a且)(6]5)1(6[561常数nnaann∴na成等差数列且公差为6、首项11a、通项公式为56nan3.等比数列等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q）。等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么GbaG，即abG2。等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列。[来源:学科网ZXXK]（2）等比中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等比数列。等比数列的通项公式：如果等比数列na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。等比数列的前n项和：○1)1(1)1(1qqqaSnn○2)1(11qqqaaSnn○3当1q时，1naSn等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa②对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa也就是：23121nnnaaaaaa。如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321③若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321例8.在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a例9.23和23的等比中项为()()1A()1B()1C()2D例10.在等比数列na中，22a，545a，求8a，解：∵5a是2a与8a的等比中项，∴25482a∴14588a例11.在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D4.数列前n项和（1）重要公式：2)1(321nnn；6)12)(1(3212222nnnn；2333)]1(21[21nnn奎屯王新敞新疆（2）等差数列中，mndSSSnmnm（3）等比数列中，nmmmnnnmSqSSqSS（4）裂项求和：111)1(1nnnn；（!)!1(!nnnn）五、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式2)(1nnaanS的推导。（二）错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{nnba的前n项和，其中}{na、}{nb分别是等差数列和等比数列。（三）分组求和法所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。例3．已知数列}{na满足1)21(nnna，求其前n项和nS。（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如n3212)1(nn、)12)(1(613212222nnnn等公式。（五）拆项（裂项）相消法：若数列}{na能裂项成)()1(nfnfan，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。例5．已知数列}{na满足)1(1nnan，求数列}{na的前n项和nS（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。例．求数列n3211,,3211,211,1的前n项和nS（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意n的奇偶性。例7．已知数列)12()1(nann，求数列}{na的前n项和100S（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n为奇数、偶数进行讨论。例8．若)34()1(1nann，求数列}{na的前n项和（九）利用周期性求和：若数列}{na，都有nTnaa（其中0Nn,0N为给定的自然数，0T），则称数列}{na为周期数列，其中T为其周期。[来源:学科网]例9．已知数列}{na中，nnaaa11,211，求其前n3项的和nS3.（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。例10．求数列}{na前n项和nS，其中nxnansin.（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。例11．求31，53，75，97，，)12)(12(nn的和nS