一阶电路的全响应和三要素方法

§7-6一阶电路的全响应和三要素方法全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,电路中所产生的响应。uC+－U+－S(t＝0)CRUudtduRCCCt-0][eUUUuC则全响应为：可见，电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和。即：全响应=稳态分量+暂态分量式中：）（00CuU一、全响应的两种分解如图有：稳态分量全响应暂态分量uCUU00tU0－U下图给出了U＞U0时，uC随时间变化的曲线。ttsCeUeUu0)1(上式的全响应还可以写成：上式中是电容初始值电压为零时的零状态响应,是电容初始值电压为U0时的零输入响应。故又有：)1(tseU全响应=零状态响应+零输入响应t-0][eUUUuC)1(tseUteU0二、一阶电路的三要素法稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素，通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应。这种方法称为三要素法。若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出：teffftf)]()0([)()(三要素的计算：1.初始值f(0+)。（1）求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)（2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+),即f(0+)。2.稳态值f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流或电压的稳态值i(∞)或u(∞),即f(∞)。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感相当于短路。3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L,由储能元件两端看进去,用戴维南等效电路求得的等效内阻。注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高阶电路是不适用的。例1：如图所示电路原已稳定，t=0时开关S闭合，试求电感电压uL。解（1）求初始值：作t=0–等效电路如图（b）所示。则有：ViiLL2321200）（）（（b）3ALLi212t=03ALLuSR2R1R3IS2211H（a）作t≥0时的电路如图（c）所示，则有：LuR1R32AR2（c）VRRRRRiuLL40032121）（）（）（（3）求时间常数：232121RRRRRR等效电阻为：sRL5.021时间常数为：（2）求稳态值：画t=∞时的等效电路,如图(d)所示。LuR1R2R3（d）0）（Lu所以，全响应为：VeeuuututtCCCC24]0[）（）（）（）（例2：如图（a）所示电路，在t=0时开关S闭合，S闭合前电路已达稳态。求t≥0时uC(t)和iC(t)。解：（1）求初始值uC(0+)。作t=0—时的等效电路如图（b）所示。则有：S（t=0）2μF+－uC+－20V(a)iC4kΩ4kΩ2kΩVuuCC20)0()0(+－uC（0－）+－20V(b)4kΩ2kΩ作t=0+等效电路如图（c）所示。列出网孔电流方程：20)0(6)0(420)0(4)0(8CCiiii+－+－20V(c)iC（0+）4kΩ4kΩ2kΩ20Vi（0+）miC5.2)0(可得：（2）求稳态值uC(∞)、iC(∞)。作t=∞时稳态等效电路如图（d）所示，则有：0)(1020444)(CCiVu+－+－20V(d)uC（∞）4kΩ4kΩ2kΩiC（∞）（3）求时间常数τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：sRCkR363108102104444442(4)根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：VeetuttC)1(10)1020(10)(125125metitC1255.2)(小结)0()0()0()0(CCLLuuii利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。2.一阶电路的零输入响应零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应。其形式为：teftf)0()(1.换路定理在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）,统称为换路。换路前后瞬间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：式中，f(0+)是响应的初始值，τ是电路的时间常数。3.一阶电路的零状态响应零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。其形式为：)1)(()(teftf式中，f(∞)是响应的稳态值。4.一阶电路的全响应全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生的响应。其两种分解为：)()()0()()1)(()0()(fefftfefeftfttt(暂态响应)(稳态响应)5.一阶电路的三要素法一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应。全响应表达式为：teffftf)](0[)()(）（计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短路。时间常数τ中的电阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路电阻。