北京市中考数学试题分类汇总——二次函数

北京市中考数学试题分类汇总——二次函数1.（04年）已知：关于x的两个方程2x2＋(m＋4)x＋m－4＝0，……①与mx2＋(n－2)x＋m－3＝0，……②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．⑴求证方程②的两根符号相同；⑵设方程②的两根分别为α、β，若α:β＝1:2，且n为整数，求m的最小整数值．2.（04年）25．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，2)任作．．一条与抛物线y＝ax2(a＞0)交于两点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB＝90°，⑴判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵确定抛物线y＝ax2(a＞0)的解析式；⑶当△AOB的面积为42时，求直线AB的解析式．3.（05年）已知：关于x的方程axaxa2202有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线yxaxa22125与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。（1）求实数a的取值范围；（2）当xx1222时，求a的值。4.（05年）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykxk4的图象与x轴交于点A，抛物线yaxbxc2经过O、A两点。（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠∠POAOBA43？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。5.（06年）已知：关于x的方程mxx21470有两个实数根xx12和，关于y的方程ynynn222120()有两个实数根yy12和，且2412yy。当26221401212122xxxxyy()时，求m的取值范围。6.（06年）已知：抛物线yxmxmm2220（）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A、B不重合），D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E。（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；（2）求CEAE的值；（3）当C、A两点到y轴的距离相等，且SCED85时，求抛物线和直线BE的解析式。7.（07年）．在平面直角坐标系xOy中，抛物线223ymxmxn经过P（3，5）A（0，2）两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标。8.（08年）．已知：关于x的一元二次方程2(32)220(0)mxmxmm．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x，2x（其中12xx）．若y是关于m的函数，且212yxx，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，2ym≤．9.（08年）．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于AB，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(30)，，将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过BC，两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标；（3）连结CD，求OCA与OCD两角和的度数．解10（09年）已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.1Oyx2344321-1-2-2-111.（09年）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为6,0A，6,0B，0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。12、（10年）已知反比例函数xky的图象经过点A（3，1）.（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，63m）也在此反比例函数的图象上（其中0m），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是21，设Q点的纵坐标为n，求9322nn的值.13.（10年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线23454122mmxmxmy与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上.（1）求B点的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）.①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.（思考）14．已知抛物线2yaxbxc与y轴交于点(03)A，，与x轴分别交于(10)B，，(50)C，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．三解答题1.（1）解法一：∵关于x的方程axaxa2202有两个不相等的实数根aaaa2024202()()解得：a0，且a21………………1分设抛物线yxaxa22125与x轴的两个交点的坐标分别为，0、，0，且∴α、β是关于x的方程xaxa221250的两个不相等的实数根'2141252120022aaa∴a为任意实数2由根与系数关系得：2125aa，∵抛物线yxaxa22125与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁222202402522140，aa解得：a323………………2分由1、2、3得a的取值范围是320a………………3分解法二：同解法一，得：a0，且a21………………1分∵抛物线yxaxa22125与x轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的开口向上∴当x2时，y04221250aa解得：a322………………2分由1、2得a的取值范围是320a………………3分（2）解：∵x1和x2是关于x的方程axaxa2202的两个不相等的实数根xxaaxxaaaa121222232020，xxaa1220………………4分不妨设xx1200，xxxx121222………………5分xxxx12122228，即xxxx1221248224282aaaa解这个方程，得：aa1241，………………6分经检验，aa1241，都是方程224282aaaa的根a432，舍去a1为所求………………7分6．解：（1）根据题意，3c，所以3025530.abab，解得3518.5ab，所以抛物线解析式为2318355yxx．···············································2分（2）依题意可得OA的三等分点分别为(01)，，(02)，．设直线CD的解析式为ykxb．当点D的坐标为(01)，时，直线CD的解析式为115yx；····················3分当点D的坐标为(02)，时，直线CD的解析式为225yx．···················4分（3）如图，由题意，可得302M，．点M关于x轴的对称点为302M，，点A关于抛物线对称轴3x的对称点为(63)A，．连结AM．根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是所求点P运动的最短总路径的长．5分所以AM与x轴的交点为所求E点，与直线3x的交点为所求F点．可求得直线AM的解析式为3342yx．可得E点坐标为(20)，，F点坐标为334，．··········································7分由勾股定理可求出152AM．xyA3MMBEFCA3O所以点P运动的最短总路径()MEEFFA的长为152．·························8分7.（1）解法一：∵一次函数ykxk4的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线yaxbxc2经过O、A两点cab01640，ba4………………1分解法二：∵一次函数ykxk4的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线yaxbxc2经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线x2xba22ba4………………1分（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由（1）知抛物线的解析式为yaxax24∴点D的坐标为（24，a）①当a0时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA⌒，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA⌒，显然OnA⌒所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切∴点O为切点………………2分∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形OD22………………3分∴点D的纵坐标为2421242aaba，∴抛物线的解析式为yxx1222………………4分②当a0时，同理可得：OD22抛物线的解析式为yxx1222………………5分综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为yxx1222或yxx1222（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠∠POAOBA43设点P的坐标为（x，y），且y＞0①当点P在抛物线yxx1222上时（如图2）∵点B是⊙D的