考研数学一真题解析 2007

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x时,与x等价的无穷小量是(A)1xe(B)1ln1xx(C)11x(D)1cosx【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小【求解过程】：方法一：利用等价无穷小0x时，11~xxeex，1211111~2xxx2111cos~22xxx，1lnln1~1xxxx方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解验证极限0,,limxABCDx是否等于1，其中,,ABCD表示A，B，C，D四个选项中的式子。故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。来说明两个无穷小之间的比较。应当注意，下面的及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0，lim也是在这个变化过程中的极限。定义：如果lim0就说是比高阶的无穷小，记作()o；如果lim，就说是比低阶的无穷小。如果lim0c，就说与是同阶无穷小；如果lim0,0kck，就说是关于的k阶无穷小。如果lim1，就说与是等价无穷小，记作。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c的情形。常用等价无穷小，当0x时，1~ln(1)~sin~tan~xexxxx11~xx，211cos~2xx(2)曲线1ln1xyex,渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0xx处的极限，若为则存在垂直渐近线0xx函数只有间断点0x，001limlimln1xxxyex，故存在垂直渐近线0x计算水平渐近线：求函数在,xx时的极限a，若a存在，则有水平渐近线ya1limlimln10xxxyex，故存在水平渐近线0y计算斜渐近线：求yx在,xx时的极限a，若a存在，且0a，求出yax在相应处的极限b，则有斜渐近线yaxb2ln11limlim0lim11xxxxxxeyexxxe111limlimln1limln0xxxxxxeyxexxxe故存在斜渐近线yx选D。【相关补充】：对于曲线yfx，若沿x方向有水平（或斜）渐近线，则沿同一方向必定没有斜（或相应地，必定没有水平）渐近线，但沿另一方向x仍可能有渐近线。(3)如图,连续函数yfx在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0xFxftdt.则下列结论正确的是(A)3324FF(B)5324FF(C)3324FF(D)5324FF【考点分析】：定积分的奇偶性，奇偶函数变上限积分函数的奇偶性【求解过程】：方法一：定积分的几何意义注意：大小半圆的面积分别为11,280xFxftdt是ft与线段0,0,,0ABABx所围图形的有向面积的代数和。1133288F，122F，0211222Fftdt，选C方法二：定积分几何意义和奇偶性结合yfx为奇函数0xFxftdt为偶函数，故1222FF，其他同解法一。故选C【基础回顾】：若yfx为奇函数，则0xFxftdt为偶函数；若yfx为偶函数，则0xFxftdt为奇函数。(4)设函数fx在0x处连续,下列命题错误的是(A)若0limxfxx存在,则00f(B)若0limxfxfxx存在,则00f(C)若0limxfxx存在,则0f存在(D)若0limxfxfxx存在,则0f存在【考点分析】：由某极限的存在推出函数在指定点的可导性及在定点处的值，函数连续与可导的关系[3,2],[2,3]【求解过程】：方法一：直接论证法对于A，由0limxfxx存在及fx在0x处连续，所以000limlim0xxfxffxxx，A正确对于C，由A知00f，所以0000limlim0xxfxffxfxx存在，C正确对于B，由fx在0x处连续，所以fx在0x处连续。所以000(0)limlim0xxfxfxfffxfxxx，故00f。B正确。综上，选D方法二：举例法设fxx，则00limlim0xxxxfxfxxx（存在），但0f不存在，D错误，选D【方法小结】：考场上用举例法很快速。(5)设函数fx在0,上具有二阶导数,且0fx,令则下列结论正确的是(A)若12uu,则nu必收敛(B)若12uu,则nu必发散(C)若12uu,则nu必收敛(D)若12uu,则nu必发散【考点分析】：数列的敛散性、拉格朗日中值定理的应用【求解过程】：方法一：由拉格朗日中值定理证明由拉格朗日中值定理，有111,1,2,nnnnuufnfnfnnfn12n，由0fx知fx严格单调增，故12nfff由于121fuu，若210uu则，()1,2,,,nufnn11111111nnnkkkkkuuuuufunf而1f是一个确定的正数，于是1limnnu，故nu发散，选D方法二：级数的定义与性质级数11nnnuu的前n项部分和为1111nnkknkSuuuu。limnnu存在的充要条件是级数11nnnuu收敛。而110,2,3,kkkuuffk1f是一个确定的正数，故1lim0kkkuu，从而级数11nnnuu发散，于是数列nu发散。方法三：特殊函数举例排除法设22fxx，则()20fx，121211,20,ufufuu，但22,limnnnufnnu，从而nu发散，A错误设xfxe，则0xfxe，12122111,2,ufufuuee，而nnufne，lim0nnu，则nu收敛，B错误设xfxe，则0xfxe，且212121,2,ufeufeuu，而nnufne，limlimnnnnue，则nu发散，C错误。故选D方法四：利用函数单调性由00fxxfx在0,单调上升，fx有如下三种情形：①00000,00,,00,0,xxxfxfxxxxxfx在0,x单调上升，又由凹函数的性质10xxx时111()fxfxfxxxlimxfx②0,,0xfxfx在0,单调上升，且limxfx③0,,0xfxfx在0,单调下降，则limxfx或limxfxA、B错误由①②C错误，选D【方法小结】：四种方法比较而言，第一种方法较为清晰易想。(6)设曲线:,1Lfxy(,fxy具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点,N为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是(A)(B)(C)(D)【考点分析】：曲线积分【求解过程】：记1122,,,MxyNxy，由条件知：12120,0xxyy，并注意在积分弧段上,1fxy。于是A．2121,0xxfxydxdxdxxxB．2121,0yyfxydydydxyyC．,,fxydsdsll为弧的长，0lD．2211,,,,,,xyxyxyfxydxfxydydfxyfxy2211,,110fxyfxyD．由,1fxy得,0,,0xyfxyfxy，故,,0xyfxydxfxydy综上，选B(7)设向量组123α,α,α线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)122331α-α,α-α,α-α(B)122331α+α,α+α,α+α(C)122331α-2α,α-2α,α-2α(D)122331α+2α,α+2α,α+2α【考点分析】：向量组线性相关性的判定(,)xydx(,)fxydy(,)fxyds'(,)'(,)xyfxydxfxydy【求解过程】：方法一：利用向量组线性相关的定义A中122331α-α+α-α+α-α=0，由向量组线性相关的定义知A中的向量组线性相关，选A方法二：利用矩阵变换求解1223311231232101α+α,α+α,α+α=α,α,α110=α,α,αC011122331123123310-2α-2α,α-2α,α-2α=α,α,α-210=α,α,αC0-211223311231234102α+2α,α+2α,α+2α=α,α,α210=α,α,αC021其中23410110210211020,21070,21090011021021CCC故，234,,CCC均是可逆阵，右乘123α,α,α时，不改变矩阵的秩，故有122331122331122331123rα+α,α+α,α+α=rα-2α,α-2α,α-2α=rα+2α,α+2α,α+2α=rα,α,α=3故，向量组B、C、D都是线性无关的，由排除法，选A（或显然122331123123110-1α-α,α-α,α-α=α,α,α-110=α,α,αC0-11，11011100011C，则1C不可逆，1231rα,α,αrC2，从而向量组A线性相关。选A）【方法小结】：方法一快速有效。(8)设矩阵2-1-1A=-12-1-1-12,100B=010000,则A与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似【考点分析】：相似矩阵、合同矩阵的概念和判定，及两者的关系【求解过程】：2λ-211111111λE-A=1λ-21=λ1λ-21=λ0λ-30=λλ-3=011λ-211λ-200λ-3所以，A的特征值为3,3,0，B的特征值为1,1,0，A与B特征值不等，故不相似，但A，B对应的二次型的正惯性指数均为2，负惯性指数均为0，故A与B合同，选B另外，也可用如下方法求