2019年江苏中考相似三角形专题培优汇编真题(含答案)

2019年江苏中考相似三角形培优汇编1.（2019扬州）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=．解：∵D1E1∥ABD1F1∥AC∴CBCDABED111BCBDACFD11∵AB=5AC=4∴CBCDED1115BCBDFD114∴14511111BCBCBCBDCBCDFDED∴4D1E+5D1F=20有2019组，即2019×20=403802.（2019扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C请依据上述定义解决如下问题（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AB，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.解：(1)过C作CE⊥AB，垂足为E∴由T（AC，AB）=3投影可知AE=3∴BE=2即T（BC，AB）=2(2)过点C作CF⊥AB于F∵∠ACB=90°CF⊥AB∴△ACF∽△CBF∴CF2=AF·BF∵T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9∴AF=4BF=9即CF=6∴S△ABC=（AB·CF）÷2=13×6÷2=39(3)过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N∵∠A=60°∠ACD=90°∴∠CDA=30°∵T（AB，AC）=2，T（BC，AB）=6∴AC=2BM=6∵∠A=60°CM⊥AB∴AM=1CM=3∵∠CDA=30°∴MD=3BD=3∵∠BDN=∠CDA=30°∴DN=323∵T（BC，CD）=CN∴CN=CD+DN=3+323=3273.（2019泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为．解：如图，连接PO并延长交⊙O于点N，连接BN，∵PN是直径，∴∠PBN=90°.∵AP⊥BC,∴∠PAC=90°，∴∠PBN=∠PAC，又∵∠PNB=∠PCA，ACBPO•∴△PBN∽△PAC，∴PAPB=PCPN,∴3x=y10∴y=x30.故答案为：y=x30.4.（2019无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝45，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．5.（2019宿迁）．如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点EBCADEF为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴＝，∴＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．6.（2019连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：2yxbxc过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：213222yxx的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q坐标．的详解：（1）将2x代入213222yxx，得3y，故点A的坐标为23，.将2303AC，，，代入2yxbxc，得2322300bcc，解得23bc.所以抛物线1L对应的函数表达式为223yxx.（2）当点P在y轴左侧时，抛物线1L不存在动点R使得CA平分PCR∠.当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为ST、，过点P作PHTR，垂足为H，则有90PSCRTC.由CA平分PCR∠，得PCARCA，则PCSRCT，故PSCRTC∽，所以PSTRCSTC.设点P坐标为211123xxx，，点R坐标为222223xxx，，所以有12221122233323xxxxxx，整理得124xx.在RtPRH中，.过点Q作QKx轴，垂足为K.设点Q坐标为213222mmm，.若OQPR∥，则需QOKPRH.所以2132222mmm.解得7652m.所以点Q坐标为7657652，或7657652，.7.（2019连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．解：问题情境：因为四边形ABCD是正方形，所以90ABEBCDABBCCDDCAB，，∥.过点B作BFMN∥分别交AECD、于点GF、.所以四边形MBFN为平行四边形.所以NFMB.所以90BFAEBGE，，所以90CBFAEB，又因为90BAEAEB，所以CBFBAE.ABEBCF△△≌，所以BECF.因为DNNFCFBEEC，所以DNNFEC，所以DNMBEC.问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HIAB∥，分别交ADBC、于点HI、.易得四边形ABIH为矩形.所以HIADHIBC，且HIABAD.因为BI是正方形ABCD的对角线，所以45BDA.所以DHQ是等腰直角三角形，HDHQ.所以AHQI.因为MN是AE的垂直平分线，所以AQQE.所以RtRtAHQQIE△≌△.所以AQHQEI.所以90AQHEQI.所以90AQE.所以AQE是等腰直角三角形，45EAQAEQ，即45AEF.（2）如图所示，连接AC交BD于点O，由题意易得APN的直角顶点P在OB上运动.设点P与点B重合，则点P与点D重合；设P与点O重合，则点P的落点为O.易知45ADO.当点P在线段BO上运动时，过点P作CD的垂线，垂足为G，过点P作PHCD，垂足为点H.易证：RtPGNRtNHP△△≌，所以PGNHGHPN，，因为BD是正方形ABCD的对角线，所以45PDG，易得PGGD，所以GNDH.所以DHHP.所以45PDH，故45PDA.所以点P在线段DO上运动.过点S作SKDO，垂足为K，因为点S为AD的中点，所以2DS，则PS的最小值为2.问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝52，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝22AEAB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴1520QEAE,AQAEQE333∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴AMAGAEAB，即5254AM，解得：25AM8，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝2'27,AC18AMAB，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，∴△AFC'∽△MAB'，∴''1,25788AFACAFAMMB，解得：25253AF,DF4777∵AG⊥MN，FH⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴FPDFAQDA，即372043FP，解得：FP＝57，∴FH＝15FP214．8.（2019南通）如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E,FF分别在AD,BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点，（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当PEF的周长最小时，求CPDP的值；（3）连接BP交EF于点M，当45EMP时，求CP的长。解：（1）连接AC，交EF于点O．由对称可知：OA=OC，AC⊥EF．∴AF=CF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．∴△OAE≌△OCF．∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．∴平行四边形AFCE是菱形．（2）∵△PEF的周长=PE+PF+EF，又EF长为定值，∴△PEF的周长最小时，即PE+PF最小．作E关于直线CD的对称点'E，连接'FE交DC于点'P，则FEPFPEPFPE''，因此，当点P与点'P彼此重合时，△PEF的周长最小．∵AB=2，AD=4，∴52AC．∴5OC．由△COF∽△CBA，得CACFBCOC．∴25CF．∴23254BFDE．由画图可知：23'DEDE．由CFPPDE∽△△'，得532523'CFDECPDP．（3）设BP交AC于点Q，作BN⊥AC于点N．∵∠EMP=45°，∴OM=OQ，NQ=BN．由BNACBCAB，得BN5242．∴554BNNQ．在Rt△ABN中，55255422222BNABAN．∴556NQANAQ．554AQACCQ．由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得CQAQCPAB．即5545562PC．解得34PC．9.（2019常州）如图，在矩形ABCD中，3310ADAB，点P是AD的中点，点E在BC上，2CEBE，点M、N在线段BD上．若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_____．【详解】作PFMN于F，如图所示：则90PFMPFN，四边形ABCD是矩形，ABCD，3310BCADAB，90AC，10ABCD，2210BDABAD，点P是AD的中点，131022PDAD，PDFBDA