高职专升本第二章导数及其应用习题及答案

1应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(xf在x0处可导，则以下结论错误的是（D）。A)(xf在x0处有极限；B)(xf在x0处连续；C)(xf在x0处可微；D)(lim)('xfxfxx必成立。2．若)(xf在x0处可导，则（B）是错误的。(02-03电大试题)A函数)(xf在点x0处有定义；BAxfxx)(lim0，但)(0xfA；C函数)(xf在x0处连续；D函数)(xf在x0处可微。3．)(xf在x0处不连续，则)(xf在x0处（A）A必不可导；B有时可导；C必无定义；D必无极限。4．函数)(xf=|2x|在x=0处的导数（D）。A等于0；B等于2；C等于-2；D不存在。5．函数)(xf=|sinx|在点x=0处的导数（D）。A等于-1；B等于0；C等于1；D不存在。6．||lnxy，则y’=（B）。A||1x；Bx1；Cx1；D||1x。7．曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程是（C）。Ay=2xBxy21Cy=xDy=-x8．xxxfcos)(，则)(xf=（D）。(02-03电大试题)Acosx+xsinxBcosx-xsinxC2sinx+xcosxD-2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange定理条件的函数是（B）。Ay=ln(lnx)；By=lnx；Cy=xln1；Dy=ln(2-x)。10．若)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点ξ，使（A）。2Aabafbff)()()('；B)('f；C))((')()(abfafbf；D)()()('afbff。11．0)('0xf，则x0是函数)(xf的（D）。(02-03电大试题)A.极大值点；B.最大值点；C.极小值点；D.驻点。12．x0是连续函数)(xf在(a,b)内的极小值点，则（C）。A必有0)('0xf；B)('0xf必不存在；C0)('0xf或)('0xf不存在；Dx∈(a,b)时，必有)()(0xfxf。13．y=arctanex，则dy=（C）。Axxee21；Bxe211；Cxxedxe21；Dxedx21。14．设2cos)(xxxf，则)('xf=（C）。A1-sinx2；B1+sinx2；C1-sinx2·2x；D(1-sinx2)·2x。15．设1)(2tttf，则)('tf=（B）。At21；B222)1(1tt；C222)1(13tt；D1122tt。16．)0(limaaxxaaxax的值是（D）。A0；B1；C∞；D)1ln(aaa。17．若x1与x2分别是函数)(xf在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（D）必成立。A)()(21xfxf；B0)(')('21xfxf；C对x∈(a,b)，)()(1xfxf，)()(2xfxf；D)('1xf、)('2xf可能为0，也可能不存在。18若1)()()(lim2000xxxfxfxx，则)(0xf一定是)(xf的（D）。A最大值；B极小值；C最小值；D极大值。二.填空题：1．已知)(xf=lnx，则0limxxxxxln)ln(=x1。32．若函数3lny，则y’=0。3．曲线y=x3+4在点(0,4)处的切线平行于x轴。4．抛物线y=x2在点(1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45°。5．已知)(xf=x·sinx，则)(f=2。6．方程xyexy所确定的隐函数的导数dxdy=xy。7．若函数)(xf在x=0处可微，则)(lim0xfx=)0(f。8．)ln(sinxd=xdxcot。9．)ln(cosxd=xdxtan。10．)(sinxeddxeexxcos。11．半径为x的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了△x，应用微分方法求出△S≈S’(x)△x。12．xxexlnlim0。13．函数y=arctan(x2+1)的递增区间是),0(。14．函数y=ln(2x4+8)的递减区间是)0,(。15．函数y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。16．极值存在的必要条件：如果)(xf在点x0处取得极值且在点x0处可导，则0)(xf。17．若函数)(xf在[a,b]上连续，在(a,b)内0)('xf，则函数的最小值为)(bf。18．设函数)(xfy二阶可导，若0)('0xf、0)(0xf，则)(0xf是)(xf的极大值。19．已知生产某种产品的成本函数为qqC280)(，则产量50q时，该产品的平均成本为3.6。20．微分近似计算函数值公式xxfxfxxf)(')()(。三、解答题：1．求函数xxy1111的导数。解：因为xxxy121111，所以422)1(2)1()1(2'xxy。2．求函数xxysinln的导数。解：xxxxxxxxxxxxxxxxy222sincoslnsinsincoslnsin1sin)'(sinlnsin)'(ln'。3．求函数xexyxcos的导数。解：)sincos(cossincoscos'xxxxxexxexxexeyxxxx。4．求方程2xy在点)9,3(处的切线方程。解：曲线2xy在点)9,3(处的切线的斜率为2xy在点)9,3(处的导数因为6|2|'33xxxy，所以切线的方程为)3(69xy即096yx5．求函数xxy2cossin2的导数。解：2)2sin(sin2cos)'(sinsin2'2xxxxxyxxxxx2sinsin22coscossin22xxxxxxxx3cossin2)2sinsin2cos(cossin2。6．求函数2tanlnxy的导数。解：xxxxxysin12cos2sin21212sec2tan1'2。7．求函数xyncos1的导数。解：xxnxxnxynnn11cossin)'(coscos)'(cos'。8．利用对数求导法求函数xxysin)(cos的导数。解：两边取自然对数，得xxycoslnsinln两边对x求导，得5xxxxxyycossinsincoslncos')tansincosln(cos)(cos)tansincosln(cos'sinxxxxxxxxxyyx。9．利用对数求导法求函数xxyln)(sin的导数。解：两边取自然对数，得xxysinlnlnln两边对x求导，得xxxxxyysincoslnsinln1'xxxxxxxxxyyxcotlnsinln1)(sincotlnsinln1'ln10．求方程xyyx所确定的隐函数的导数dxdy。解：两边取自然对数，得yxxylnln两边对x求导，得yyxyxyxy'ln1ln'整理，得)ln()ln(xxyxyyxydxdy。11．求方程22lnarctanyxxy所确定的隐函数的导数dxdy。解：两边对x求导，得2222222'221'11yxyyxyxxyxyxy整理，得yxyxdxdy。12．求方程xyyexe所确定的隐函数的导数dxdy。解：两边对x求导，得xxyyyeeyyxee''6整理，得yxxyxeeyeedxdy13．己知函数xxey，求y(n)。解：因为)1('xexeeyxxx，)2()1(''xeexeyxxx，)3()2('''xeexeyxxx，……………………………………所以，)()(nxeyxn14．已知xxynln)2(，求)(ny。解：xxxxxxyn22)1(ln1lnln1ln，xxxxxxxxxyn342)(lnln2ln1ln2)1ln(ln1。15．求函数xyarcsin的微分。解：)1(2d)d(11)(arcsinddxxxxxxy。16．求函数xeycot的微分。解：xxexeeyxxxdcsc)(cotd)(dd2cotcotcot。17．半径为10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。解：222)(2)(rrrrrrS，rrrSd2)(dd2。当10r，05.0rdr时，0025.1S，Sd。即增加面积的精确值为0025.1，近似值为。18．判断函数xxfln)(在区间],1[e上是否满足Lagrange定理？如果满足就求出定理中的。解：因为xxfln)(是初等函数，)(xf在其定义域),0(内连续可导，所以)(xf在区间],1[e上连续，在区间),1(e内可导，满足Lagrange定理条件。因而在区间),1(e内至少存在一点，使得1111lnln1)('eeef7即1e。19．利用L’Hospital法则求极限xlimxxxxlnln。解：型xxxxxlnlnlimxxxxx1ln11lim型xxxxxln1lim02ln1limxx。20．利用L’Hospital法则求极限0limxxx8tanln5tanln。解：型xxx8tanln5tanlnlim0110168510sin16sinlim8588sec8tan155sec5tan1lim0220xxxxxxxx21．利用L’Hospital法则求极限xxx0lim。解：xxxxxxxxeexlnlimln000limlim，因为0lim11lim1lnlimlnlim02000xxxxxxxxxxx型，所以1lim00exxx。22．求函数1xeyx的单调区间。解：令01'xey，解得驻点0x，0x把定义域),(分成)0,(和),0(两个子区间。列表x)0,(0),0(x-0+)('xf-0+)(xf↘↗由表可知：函数)(xf在)0,(内递减，在),0(内递增。23．求函数xxyln2的极值点和极值。8解：令0)1ln2(1ln2'2xxxxxxy，解得0x或21ex。因为0x不在函数的定义域),0(内，舍去；21ex把),0(分成21,0e和,21e两个子区间。列表x21,0e21e,21e1ln2x-0+)('xf-0+)(xf↘极小值e21↗由表可知：当21ex时，函数有极小值eyex2121。24．求函数422xxy的极值点和极值。解：令0)1)(1(4)1(444'23xxxxxxxy，解得0x和1x。驻点0x和1x把函数的定义域),(分成)1,(，)0,1(，)1,0(和),1(四个子区间。列表x)1,(1)0,1(0)1,0(1),1(x1-0+++x--0++x1+++0-)('xf+0-0+0-)(xf↗极大值1↘极小值0↗极大值1↘由表可知：当0x时，函数有极小值0y；当1x时，函数有极大值1y。25．求函数)1ln()(xxxf的单调区间与极值解：()ln(1)(1,)fxxxx1()11fxx由f(x)=0，知x=0x(1,0)0(0,)y09y0()fx的单调下降区间为（-1，0），上升区间为(0,)