13-1一致收敛性

返回后页前页§1一致收敛性三、函数项级数的一致收敛判别法返回对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性返回后页前页一、函数列及其一致收敛性设12,,,,(1)nfff是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可记为{},1,2,.nnffn或以0xE代入(1),可得数列10200(),(),,(),.(2)nfxfxfx0x0x如果数列(2)收敛,则称函数列(1)在点收敛,称为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数列(1)在点0x发散.当函数列(1)在数集上每一DE返回后页前页点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每x{()}nfx一点都有数列的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数列(1)的极限函数.若将此极限函数记作f,则有lim()(),nnfxfxxD或()()(),.nfxfxnxD返回后页前页NxD函数列极限的定义:对每一固定的,任,总存在正数N(注意:一般说来N值与给正数和,x)表示三者之间的值都有关,所以有时也用N(x的依赖关系),使当nN时,总有|()()|.nfxfx使函数列{}nf收敛的全体收敛点集合,称为函数列{}nf的收敛域.返回后页前页例1(),1,2,,nnfxxn设为定义在(-)上的函数列,证明它的收敛域是(1,1],且有极限函数0,||1,()1,1.xfxx证0(1),0||1,x任给不妨设当时由于|()()|||,nnfxfxxln(,),(,)ln||NxnNxx只要取当时,就有|()()|||||.nNnfxfxxx返回后页前页01,,xxn当和时则对任何正整数都有|(0)(0)|0nff，|(1)(1)|0.nff式所表示的函数.||1||(),nxxn当时,有1,x当时又1,1,1,1,对应的数列为显然是发散的.所以{}nx(1,1]函数列在区间外都是发散的.故所讨论的函数列的收敛域是(1,1].这就证明了在(,1]上收敛,且极限就是(3){}nf1oxy(1,1)()nnyfxx1n2n4n10n30n1返回后页前页例2sin(,)(),nnxfxn定义在上的函数列1,2,.nsin1,nxnn10,,nN故对任给的只要就有sin0.nxn,x由于对任何实数都有所以函数列sin(,),nxn的收敛域为极限()0.fx函数为返回后页前页例3考查以下函数列的收敛域与极限函数:⑴.(),xxnxxnnfxnn⑵121(),nnfxx⑶设12,,,,nrrr为区间[0,1]上的全体有理数所成数列.令12121,,,,,()0,[0,1],,,.nnnxrrrfxxxrrr且:答案()sgn,nfxxxR:答案()sgn,nfxxxR:答案()(),nfxDx[0,1]x返回后页前页⑷222()2,nxnfxnxe⑸11114,0,211()24,,2210,1.2nnnnnnnnxxfxxxx:答案()0,nfxxR:答案()0,nfx[0,1],x()n注意:10()1nfxdx返回后页前页作为函数列的研究，我们不只关心它的极限函数存在性，还需要关心它的极限函数的解析性质——如连续、可微、积分等性质。问题:若在数集D上()(),()nfxfxn.试问:通项()nfx的解析性质是否必遗传给极限函数()fx?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传;而例3⑶说明可积性未能遗传;例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传,但1100lim()lim()nnnnfxdxfxdx返回后页前页用函数列的极限表示函数,是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段,对这种函数,lim()nnfx就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就是所谓“一致收敛”.一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.返回后页前页设函数列{}nff与函数定义在同一D定义1数集上，,,N若对任给的正数总存在某一正整数使当nN,xD对一切都有时，|()()|nfxfx，{}nfDf则称函数列在上一致收敛于,记作()()(),.nfxfxnxD返回后页前页由定义看到,一致收敛就是对D上任何一点,函数列趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现().N显然,若函数列nf在D上一致收敛,则必在D上每一点都收敛.反之,在D上每一点都收敛的函数列,它在D上不一定一致收敛.为:与相对应的N仅与有关,而与x在D上的取值无关,因而把这个对所有x都适用的N写作返回后页前页例4.设sin()nnxfxn,证明函数列{()}nfx在R内:解sinlim0,(,),2.nnxxn见例sin(,)0.nxn由定义来证,在上一致收敛于0,:要使sin0nxnsinnxn1n,1,n只要N取10,,nN(,),x:总有sin0.nxn//一致收敛(P28)返回后页前页在D上不一致收敛于f的正面陈述是:nf函数列存在某正数0,对任何正数N,都有某一点0xD和00xn与的取值与N有关),(注意:0nN某一正整数使得0000()().nfxfx返回后页前页(0,1)0.nx在上不可能一致收敛于由例1中知道,下面来证明这个结论.事实上,若取01,2,2N对任何正整数取正整10011(0,1),NnNxN数及就有001101.2nxN返回后页前页nff函数列一致收敛于的几何意义:如图所示,号大于N的所有曲线()yfx都落在曲线与()yfx所夹的带状区域之内.()(),nyfxnN00,N,对于序Oyx()yfx()nyfxba()yfx()yfx图13-1返回后页前页{}(0,1)nx函数列在区间上,不一致收敛从几何意义上看,就是存在某个预先给定的(1),无论N多么大,总存在某条曲线(),nyxnN0,(1)bb只限于在区间上,则容易看到,只要1xyxO2x132图113x不能全部落在由y与y夹成的带状区域内(图13-2).{}nx若函数列返回后页前页ln(01),lnnb其中nyx曲线就全部落在yy和所夹成的带状区域内，所以nx在0,b上是一致收敛的.返回后页前页定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{}nfD在数集上一致收敛的充要条件是:对任给正数,,,nmNxD总存在正数N,使当对一切,都有|()()|.(4)nmfxfx()()(),nfxfxnxD设即对证必要性，任给0,存在正数N,使得当nN时,对一切,xD都有|()()|.(5)2nfxfx,nmN于是当,由(5)得|()()||()()||()()|nmnmfxfxfxfxfxfx.22返回后页前页充分性若条件(4)成立,由数列收敛的柯西准则,(),fx在D上任一点都收敛,记其极限函数为{}nf.(4),,,xDnmnN现固定式中的让于是当时xD对一切都有|()()|.nfxfx由定义1知,()()(),.nfxfxnxD返回后页前页根据一致收敛定义可推出下述定理:定理13.2（余项准则）{}nfD函数列在区间上一致收敛于f的充分必要条件是:limsup|()()|0.(6)nnxDfxfx,当,存在不依赖于xN任给的正数的正整数证必要性()()(),.nfxfxnxD若则对由上确界的定义,对所有nN,也有sup|()()|.nxDfxfx这就得到了(6)式.有|()()|,.nfxfxxDnN时,返回后页前页充分性由假设,对任给0,存在正整数N,使得nN当时,有sup|()()|.(7)nxDfxfx,xD因为对一切总有|()()|sup|()()|.nnxDfxfxfxfx.f一致收敛于故由(7)式得()(),nnfxfxfD于是在上返回后页前页注柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致收敛,而使用余项准则需要知道极限函数,但使用较为方便.如例2,由于(,)sin1limsup0lim0,nnxnxnnsin(,),0().nxnn所以在上返回后页前页例3定义在[0,1]上的函数列2212,0,211()22,,1,2,,(8)210,1,nnxxnfxnnxxnnnxn(0)0,nf由于(0)f故lim(0)0.nnf01,x当时1,nx只要就有()0,nfx(0,1]故在上有()lim()0.nnfxfx返回后页前页1,2,3n其中的图像如图13-3所示.(8)[0,1]于是在上的极限函数()0.fx为又由于[0,1]1sup()()(),2nnxfxfxfnnn所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛.133图()fx11f2f3f12131614213xyO返回后页前页例5讨论函数例222{()e},[0,1]nxnfxnxx的一致收敛性.解为了使用余项准则,首先求出函数列的极限函数.易见222()lim()lime0,[0,1],nxnnnfxfxnxx于是222|()(0)|e.nxnfxfnx222enxnx[0,1]容易验证在上只有惟一的极大值点012xn,因此为最大值点.于是返回后页前页12sup|()()|e2nnfxfx根据余项准则知该函数列在[0,1]上不一致收敛.注222{()e}nxnfxnx不一致收敛是因为函数列余的增大一致趋于零0xn项的数值在附近不能随(见图13-4),因此对任何不含原点的区间[,1](0aa222{()e}nxnfxnx在该区间上一致收敛于零.1),返回后页前页图13–4返回后页前页例6.证明22()1nxSxnx在(,)内()0,()nSxn.证:易见lim()()0.nnSxSx而|()()|nSxSx22||1xnx212||21()nxnnx12n在(,)内成立.(,)limsup()()0nnxSxSx由定理13.2,得证.返回后页前页二、函数项级数及其一致收敛性{()}nuxE设是定义在数集上的一个函数列,表达式12()()(),(9)nuxuxuxxE称为定义在E上的函数项级数,1()nnux简记为或().nux称1()(),,1,2,(10)nnkkSxuxxEn为函数项级数(9)的部分和函数列.返回后页前页0,xE若数项级数10200()()()(11)nuxuxux001()()nnkkSxuxn收敛,即部分和当时极限0x0x存在,则称级数(9)在点收敛,称为级数(9)的收敛点.若级数(11)发散,则称级数(9)在点0x发散.若级数(9)在E的某个子集D上每点都收敛,则称级数(9)在D上收敛.若D为级数(9)全体收敛点的集合,这时就称D为级数(9)的收敛域.级数