组合与组合数公式

第一章计数原理学习导航学习目标1.理解组合的概念．(重点)2．根据两个计数原理推导出组合数公式．(重点)3．应用排列与组合知识解决简单的实际问题．(难点)学法指导通过对具体实例的对比分析，亲身经历组合概念的形成过程，明确排列与组合的关系；在用列举法列出组合、排列的过程中体会组合数与排列数、计数原理的关系，并参与体验组合数的应用.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理1．组合的定义(1)一般地，从n个_____________元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)如果两个组合中的元素_____________，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素_____________时，才是不同的组合．不同完全相同不完全相同栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2．组合数与组合数公式(1)组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_____________表示．(2)组合数公式：Cmn＝__________＝nn－1n－2…n－m＋1m！；Cmn＝________________.规定：C0n＝_____________.所有不同组合的个数Cmnn！m！n－m！AmnAmm1栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理3．组合数的性质性质1：Cmn＝_____________.性质2：Cmn＋1＝_____________.Cn－mnCmn＋Cm－1n栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素任取两个元素组成一个组合所有组合的个数为C23.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相除可以得C24个商．()(3)C35＝5×4×3＝60.()(4)C20132014＝C12014＝2014.()√√××栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2．已知C2x＝36，则x的值为()A．6B．7C．8D．9解析：∵C2x＝xx－12＝36，∴x(x－1)＝72，∴x＝9.D栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．解析：从四个数中任取两个数的取法为C24＝6.64．判断组合与排列的主要依据是什么？解：区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理组合概念的理解判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理方法归纳区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理解：要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.1．从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理有关组合数的计算与证明计算下列各式的值．(1)3C38－2C25；(2)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8＋C5－m8.[解](1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理(2)原式化为m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×7－m！m！10×7！，即m！5－m！5！－m！6－m5－m！6×5！＝7×m！7－m6－m5－m！10×7×6×5！，∴1－6－m6＝7－m6－m60，即m2－23m＋42＝0，m＝2或21.而0≤m≤5，∴m＝2.∴Cm8＋C5－m8＝C28＋C38＝C39＝84.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理方法归纳在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算Cmn时，若m比较大，可利用性质1，不计算Cmn而改为计算Cn－mn，在计算组合数之和时，常利用性质2.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理2．计算．(1)C410－C37·A33；(2)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(3)Cr＋110＋C17－r10.解：(1)C410－C37·A33＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理(2)利用组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n，则C34＋C35＋C36＋…＋C310＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44＝C411－1＝329.(3)由组合数中n，m的限制条件可知0≤r＋1≤10，0≤17－r≤10，解得7≤r≤9，因为r∈N*，所以r＝7,8,9.当r＝7时，原式＝C810＋C1010＝C210＋1＝9×102＋1＝46；当r＝8时，原式＝C910＋C910＝2C910＝2C110＝20；当r＝9时，原式＝C1010＋C810＝1＋C210＝46.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理组合的简单应用在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(链接教材P23例6)(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理方法归纳解答简单的组合问题的思考方法：(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C11C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理解方程：Cx－2x＋2＋Cx－3x＋2＝110A3x＋3.易错警示因忽视组合数公式成立的条件致误栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[解]原方程可化为Cx－2x＋3＝110A3x＋3，即C5x＋3＝110A3x＋3，∴x＋3！5！x－2！＝x＋3！10·x！，∴1120x－2！＝110·xx－1·x－2！，∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3(舍去)，经检验x＝4是原方程的解．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第一章计数原理[错因与防范]运用组合数公式转化为关于x的一元二次方程后，易忽视x的取值范围，导致错误．(1)运用组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n时，明确公式的特点，学会公式的顺用、逆用、变形用．(2)计算Cmn时，若m＞n2，通常不直接计算Cmn而改为计算Cn－mn.