2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位，(1)zii，则复数z在复平面内对应的点落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.随机变量~(1,4)XN，若(2)0.2PX，则(02)PX（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.83.已知0a，0b，那么“2ab”是“1ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件4.某三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积是（）A．1B．32C．34D．345.为了解社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机抽查5户家庭得如下数据表：根据上表可得回归直线方程ybxa，其中0.76b，aybx，据此估计，该社区一户收入20万元家庭的支出是（）A．15.6万元B．15.8万元C．16万元D．16.2万元6.若两异面直线所成角为60，则成为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对7.设A，B是球O的球面上两点，90AOB，C是球面上的动点，若球的表面积是36，则四面体OABC的体积V的最大值为（）A．8132B．2732C．272D．928.某商场要从化为手机a、b、c、d、e5种型号中，选出3种型号的手机进行促销活动，则在型号a被选中的条件下，型号b也被选中的概率是()A．35B．310C．14D．129.将甲，乙，丙3本不同的书籍放到6个书柜里，每个书柜最多放2本书，那么不同的放法有()A．150种B．180种C．210种D．240种10.数列na的各项均为正数，前n项和为nS，若11a，111nnnSSa，则50a()A．526B．527C．26D．5211.由点P向圆O：222xy引两条切线，切点为A，B，则PAPB的最小值是()A．42-6B．223C．322D．64212.已知()fx是R上的减函数，其导函数'()fx满足()1'()fxxfx，那么下列结论中正确的是()A．xR，()0fxB．当且仅当(,1)x，()0fxC．xR，()0fxD．当且仅当(1+)x，，()0fx第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.23(23)xx的展开式中含4x项的系数是．14.抛物线28yx与曲线(0)xykk交于点M，若M到抛物线焦点F的距离为4，则k．15.如果函数2()ln2fxxaxx有两个不同的极值点，那么实数a的范围是．16.设a，b，c是直角三角形的三边长，斜边上的高为h，c为斜边长，则给出四个命题：①abch；②2222abch；③3333abch；④4444abch．其中真命题的序号是，进一步类比得到的一般结论是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设nS是等差数列na的前n项和，已知36S，44a．（1）求数列na的通项公式；（2）若133nnaanb，求证：1211114nbbb…．18.某校从参加高二年级月考测试的学生中抽出80名，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）假设抽出学生数学成绩在90,100段各不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95,96,97,98,99,100这6个数字任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两个学生的数学成绩的次数为X，求X的分布列和期望．19.如图，在三棱柱111ABCABC中，点1A在平面ABC内的射影D是AC的中点，侧面11AACC是边长为2的菱形，且1BC，90ACB．（1）证明：1AC平面1ABC；（2）求锐二面角11BACB的大小．20.椭圆E：22221xyab（0ab）的离心率为22，其左焦点1F到点(2,1)P的距离是10．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：ykxm被圆O：223xy截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求△AOB面积S的最大值．21.函数()ln(1)fxaxx，()1xgxex，已知曲线()yfx与()ygx在原点处的切线相同．（1）求()fx的单调区间；（2）当0x时，()()gxkfx恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲四边形ABCD内接于圆，BCCD，过D点作圆的切线与AB的延长线交于点E．（1）求证：2EADCDE；（2）若BCAB，BDBE，2AE，求AB的长．23.在极坐标系中，曲线C的方程为2cos29，点(23,)6P．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线OP与曲线C交于A、B两点，求11||||PAPB的值．24.设函数()||fxxa，不等式()2fx的解集是|15xx．（1）求实数a的值；（2）若(2)(2)fxfxm对一切xR恒成立，求m的范围．重庆巴蜀中学高2017届高二（下）期末数学试题（理科）答案一、选择题题号123456789101112答案ACBDABDDCBAC二、填空题13.314.815.1(0,)216.②④,nnnnabch(nN)三、解答题17.解：（1）设公差为d，则3141336,34,Sadaad解得11,1.ad∴nan．（2）∵13323nnnnb，∴113nnbb，∴1nb是等比数列．∵1116b，13q，（2）在90,100段的人数800.054（人），设每次抽取两个数恰好是两学生的成绩的概率为p，则242625CpC，∵2~(3,)5XB，∴2()355EX．∵3323()()()55kkkPXKC（0,1,2,3k）∴X的分布列为：X0123P271255412536125812519.（1）证明：∵1AD平面ABC，∴1ADBC，又∵ACBC，且1ACADD，∴BC平面11AACC，∴1BCAC．∵侧面11AACC是菱形，∴11ACAC，∵1ACBCC，∴1AC平面1ABC．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立坐标系cxyz．∵2AC，1BC，∴(2,0,0)A，(0,1,0)B，1(1,0,3)A，1(1,0,3)C，∴由（1）知：1(3,0,3)AC是平面1ABC的法向量．设平面11ABC的法向量为(,,)nxyz，二面角11BACB的大小为，∵11(2,1,0)ABAB，1(1,0,3)CA，∴11120,30nABxynCAxz，令3x，得23,1,yz∴(3,23,1)n．∵111||1cos|cos|2||||nACnACnAC，∴3．20.解：（1）由题意可得22cea，2(2)110c，解得1c，2a，221bac，即有椭圆的方程为2212xy；（2）∵O到l的距离22393()3242dr，∴2||321mdk，∴223(1)4mk．设11(,)Axy，22(,)Bxy，把ykxm代入得222(12)4220kxkmxm，∴122412kmxxk，21222212mxxk，∴212||1||ABkxx2212121()4kxxxx2222222168(1)1(12)12kmmkkk2222(15)112kkk222(1)(51)212kkk，∵13||||24SABdAB222(33)(51)2=412kkk2221(3351)2224122kkk，∴当223351kk，即1k时，max22S．21.解：（1）∵1'()1fxax（1x），'()1xgxe，依题意，'(0)'(0)fg，解得1a，∴1'()111xfxxx，当10x时，'()0fx；当0x时，'()0fx，故()fx的单调递减区间为(1,0)，单调递增区间为(0,)．（2）令()()()ln(1)(1)1xhxgxkfxekxkx，由（1）知：min()(0)0fxf，∴ln(1)xx，即1xex，∴'()(1)1(1)11xkkhxekxkxx．(i)若1k，则1'()(1)20,1hxxx∴()hx在0,上是增函数，∴()(0)0hxh，∴()()gxkfx成立．(ii)若1k，由（1）知()fx，则()()fxkfx，由(i)知：()()()gxfxkfx，∴()()gxkfx成立．(iii)若1k，则()(1)1xkhxekx，则2'()(1)xkhxex，显然'()hx在0,上单调递增，又'(0)10hk，1'(1)10khke，∴'()hx在(0,1)k上存在唯一零点0x，当0(0,)xx时，'()0hx，所以()hx在0(0,)x上单调递减，从而()(0)0hxh，即'()0Fx，∴()Fx在0(0,)x上单调递减，从而当0(0,)xx时，()(0)0FxF，即()()gxkfx，不合题意．综上，实数k的取值范围为,1．22.（1）证明：∵BCCD，∴BDCDBC，∵DE是圆的切线，∴EDCDBC，∴EDCBDC，∴2BDECDE，∵EADBDE，∴2EADCDE．（2）解：∵BCAB，∴ADCD，∵BCCD，∴RtABCRtADC，∴ABAD，∵BDBE，∴BEDBDEEAD，∴ADDE，由切割线定理得222EDAEBEADAB，∴2()ABAEAEAB，∵2AE，∴51AB．23.解：（1）∵化为直角坐标可得(3,3)P，=6，∴直线OP的参数方程为：33,213.2xtyt∵2222cossin9，∴曲线C的直角坐标方程：229xy，得：24360tt，∴1243tt，1260tt，∴121212||11112||||||||||ttPAPBtttt．24.解：（1）由题意可知||2xa，22xa，解得22axa，∵不等式()2fx的解集是|15xx，∴21,25,aa解得3a．（2）∵()|3|fxx，∴(2)(2)|23||1|fxfxxx33|||||1|22xxx310|()(1)|22xx，当32x时，min1(2)(2)2fxfx，∴12m．