§18.4-条件极值--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、问题引入二、拉格朗日乘数法三、应用举例条件极值问题的特点是:极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制.解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.§4条件极值数学分析第十八章隐函数定理及其应用*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社问题引入很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化,而是要受到某些条件的约束.例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积最小?若设长、宽、高各等于x,y,z,则2();Szxyxy目标函数:.xyzV约束条件:§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例后退前进目录退出数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社极值（最值）定义12(,,,)0,1,2,,().:knxxxkmmn为简便起见,记并设12(,,,),nPxxx{|,()0,1,2,,}.kPPDPkm00()(),(;)(),fPfPPUPP或0,0,P使得若存在0()fP()fP则称是在约束条件之下的极小值(或最小值),类似地又可定义条件极大(或最大)值.1212(,,,),(,,,)R;nnnyfxxxxxxD设目标函数为约束条件为如下一组方程:§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例0P称是相应的极小值点(或最小值点).数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法探源形说起,即设目标函数与约束条件分别为(,)(,)0.(1)zfxyxy与(,)0xy(),yyx若由确定了隐函数(,()).zfxyx标函数成为一元函数dd0,ddxxyxyyzyffffxx00000(,)(,()),Pxyxyx求出稳定点0()0.xyyxPff§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例再由先从n=2,m=1的最简情则使得目在此点处满足数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社00000((),())((),())(0,0).xyxyfPfPPP由此推知:0,存在比例常数满足0(,)fxyzf这表示的等值线0P0(,)fxyz(,)0xy(,)fxyc(,)0xy与曲线在0P有公共切线，见图.点这又表示:对于函数(,,)(,)(,),Lxyfxyxy在点处恰好满足:000(,,)xy0()0.xyyxPff§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(,)(,)0,(,)(,)0,(2)(,)0.xxxyyyLfxyxyLfxyxyLxy也就是说,(2)式是函数在其极值点处所(,,)Lxy满足的必要条件.通过引入辅助函数把条件极值问题(1)(,,),Lxy转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例由此产生了一个重要思想:即数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社称此函数为拉格朗日函数,其中称12,,,m为拉格朗日乘数.拉格朗日乘数法目标函数和约束条件组,应引入辅助函数12121(,,,)(,,,).(3)mnkknkfxxxxxx1212(,,,,,,,)nmLxxx§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例对于前面定义中所设的一般数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.6§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例01111rank,nmmPnxxmxx(0)(0)(0)012(,,,)nPxxx是该条件极值问题的极值点,且(0)(0)(0)12,,,,m则存在m个常数在区域D上有连续一阶偏导数.kf与设上述条件极值问题中的函数(1,2,,)km若D的内点使得数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.6注对于n=2,m=1的情形,已在前面作了说明；对一般情形的证明,将放到二十三章的定理23.19中进行.个方程的解:1120,1,2,,;(,,,)0,1,2,,.mkkkiiinkkLfinxxxLxxxkm为拉格朗日函数(3)的稳定点,(0)(0)(0)12(,,,,nxxx(0)(0)(0)12,,,)m§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例nm即它是如下数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社应用举例定理18.6指出的方法称为拉格朗日乘数法.用这种方法先来求解本节开头给出的例题.2.SxzyzxyVxyz求+在例约束件1条下的极值解此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如代入目标函数后,转而求解,Vzxy2()VSxyxyxy的普通极值问题.就无法进行了.§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例无法将条件式作显化处理时,此法下面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社2()(),LxzyzxyxyzV20,xLzyyz并求解以下方程组:现在作拉格朗日函数为消去,将前三式分别乘以x,y,z,则得2,2,2().xzxyxyzyzxyxyzzxyxyz§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例20,yLzxxz2()0,zLxyxy0.LxyzV数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社332,22.xVyzV两两相减后立即得出再代入第四式,得2,xyz注由以上结果还可以得到一个不等式(这是获得不等式的一种好方法).(表面积)的最小值:32333min22(22)(2)2VSVVV消去V后便得不等式322()34(),0,0,0.zxyxyxyzxyz于是有其中322()34,zxyxyV.Vxyz§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例那就是具体算出目标函数3234,V数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社221..zxyxyz抛物面被平面截成一个椭圆求该椭圆到原点的最长和最例2短距离222,,fxyzxyz这个问题的目标函数是=解求解以下方程组:§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例为了计算方便，把目标函数改取距离的平方(这是22222()(1).Lxyzxyzxyz等价的),221zxyxyz在条件及下的最值问题.即设数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社22220,220,20,0,10.xyzLxxLyyLzLxyzLxyz由此又得(1)()0.xyxy式,继而得到:(这里否则将无解)1,22210,xx13,1(13)23.2xyz§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例2()2()2.xxyyz再代入条件数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社这是拉格朗日函数的稳定点.222222(13)(23)4xyz1(1233)4433953,2故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分别为minmax953,953.dd§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例最大值和最小值，所以由于所求问题存在1(1233)4433953.2数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社分析(i)如果能求得该椭圆的长、短半轴a与b,则椭圆面积为;ab(ii)由方程(4),此圆柱面关于坐标原点是对称的,故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某一直线;(iii)因为所给平面也是通过坐标原点的,平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.它与平面相交得一椭圆,试求此椭0xyz圆的面积.例3已知圆柱面22210,(4)xyzxyyzzx§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例所以此数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社解由以上分析,自原点至椭圆上任意点(x,y,z)的距离之最大、小值，222dxyz椭圆的长、短半轴.类似,但在具体计算策略上将有较大差异.)并令设拉格朗日函数为222(1),xyzxyyzzx222()Lxyzxyz§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例就是该(说明:本例的题型与例2相数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社2222(2)0,(5)2(2)0,(6)2(2)0,(7)0,(8)(1)0.(9)xyzLxxyzLyyzxLzzxyLxyzLxyzxyyzzx对(5),(6),(7)三式分别乘以x,y,z后相加,得到2222()0,xyzxyyzzx2222()()xyzxyz§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社借助(8),(9)两式进行化简,又得2222.dxyz这说明的极值就是这里的(即的极值就是2dd).,消去得到一个线性方程组:(2)2(2)0,2(2)(2)0,0.xyzxyzxyz它有非零解(x,y,z)的充要条件是§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例.问题便转而去计算为此先从(5)－(8)式数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社由前面讨论知道,方程(10)的两个根就是12,122.Sab2212;4,ab与而2d的最大、小值,即2222222320120,11122040.(10)3即说明(i)一旦由方程(5)－(9)能直接求得椭圆的长、短半轴,(x,y,z)了,这使解题过程简单了许多.§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例于是那就不必再去计算椭圆的顶点坐标数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(ii)若用解析几何方法来处理本例的问题,出纬圆半径和纬圆面积23r2;3A的法线与l夹角的余弦0xyz(1,1,1)(1,1,1)1cos.333先求出圆柱面的中心轴所在直线l:,xyz然后根据面积投影关系最后求得椭圆cos,AS面积为212.33cosAS§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例则需要再求还有平面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社0P0Q:(,)0.Fxy例4设光滑封闭曲线证明:上任意两个相距最远点处的切线互相平行,且垂直于这两点间的连线.220;xyFF且(ii)在上必有相距最远的点.证由于是光滑封闭曲线,所以满足:(i)F在一个包含的开域内有连续的一阶偏导数,§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社22(,,,)()()fxyuvxuyv(,)0,(,)0FxyFuv000000(,),(,)PxyQuv设为上相距最远的两点,00000(,,,)Mxyuv则点为目标函数在约束条件之下的极大值点.22()()(,)(,)LxuyvFxyFuv的稳定点.从而满足000,,M使点成为拉格朗日函数§4条件极值问题引入拉格朗日乘数法应用举例于是由拉格朗日乘数法,存在数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社前者表示000PQP与在的切线垂直,000PQQ与在的切线垂直.示0Q00.