2019年春季学期高中数学人教必修五第一章第1节正弦定理集体备课教案语文

第1页《正弦定理》集体备课教案一、学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的度量问题及三角形形状和解的个数的判断.2.从学过的知识出发，探究任意三角形中边与其对角的关系，并通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，从而培养分析问题、解决问题的能力.3.在学习中体会转化思想、方程思想、分类讨论思想及由特殊到一般的思维方法.学习重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.二、课前预习1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2.2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝sin_A，bc＝sin_B.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC，这个比值是三角形外接圆的直径2R.5、在C中，3a，6b，23，则．第2页答案：4解：由正弦定理，得sinsinabAB，即36sin32B，2sin2B，4B.三、导入课题想一想：如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.△ABC的其它边和角为多少？学生：∠B＝60°，∠C＝90°，a＝1，b＝3.算一算：试计算asinA，bsinB，csinC的值，三者有何关系？学生：asinA＝2，bsinB＝3sin60°＝2，csinC＝2，三者的值相等．议一议：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？学生：是．理由如下：如图sinA＝ac，∴asinA＝c.sinB＝bc，∴bsinB＝c.∵sinC＝1，∴asinA＝bsinB＝csinC.议一议：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝3，试求其它边和角．学生：如图，△ACD为直角三角形，∠C＝30°，AC＝3，则AD＝32，CD＝32，BC＝3.AB＝3，∠BAC＝120°.第3页教师：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即asinA＝bsinB＝csinC.议一议：如图，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动.C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？四、解疑与探究教师：在RtABC中，C为直角，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,则sinsinsinabccABC.从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC.想一想：那么对于钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？议一议：如图，当ABC是钝角三角形时，不妨设C为钝角，作边AB上的高CD，则有CD=sinsinaBbA，故sinsinabAB.作边BC上的高AE，则有AE=csinB=bsin(180°-∠ACB)=bsin∠ACB，故可得sinsincbCB.从而在钝角三角形ABC中，sinsinabABsincC.想一想：那么对于锐角三角形，以上关系式是否仍然成立？当△ABC是锐角三角形时同理可得.（参看教材第2页）思考：是否可以用其他方法证明这一等式？由于涉及边与角关系问题，从而考虑用向量来研究这个问题。对正弦定理的理解第4页(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．范例讲解一．已知三角形任意两角和一边解三角形例1.若ABC中，3AC，45A，75C，则BC_______．解析：由题意得18060BAC．由正弦定理得sinsinACBCBA，则sinsinACABCB，评注：求解这类问题时，画出草图，在图形中标出已知的边与角，选准运用正弦定理的等式.点评：已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．二.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形例2.在△ABC中，若c＝6，C＝π3，a＝2，求A，B，b.解析：由asinA＝csinC，得sinA＝asinCc＝22.第5页∴A＝π4或A＝34π.又∵c＞a，∴C＞A，∴只能取A＝π4，∴B＝π－π3－π4＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．三．利用正弦定理判断三角形的形状例3.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC．试判断△ABC的形状．解析：由正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B，cosC＝sinB.∴2sinB·cosC＝2sin2B＝sinA＝1.∴sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故第6页舍去)．∴△ABC是等腰直角三角形．点评：判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．五、反思与小结1.正弦定理的常用变形：（1）sinsinaAbB，sinsinbBcC，sinsincCaA；（2）::sin:sin:sinabcABC；（3）2sinaRA，2sinbRB，2sincRC.2.正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角.3.解的判断要把握三角形中大边对大角，小边对小角的关系.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直第7页角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解六、课堂反馈一．选择题1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1B解：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝5×133＝59.2.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形()A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定B解：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．第8页3、在锐角ABC中，1BC，2BA，则AC的取值范围为.[30,60]解:由正弦定理得sin2sinACBCAA，∴12cosACA，2cosACA，由锐角ABC得0290A，∴045A，又0180390A，∴3060A，∴3045A，则23cos22A，故2cos(2,3)ACA.4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－3cosCcosB＝3c－ab，则sinCsinA的值为________．解：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC得cosA－3cosCcosB＝3c－ab＝3sinC－sinAsinB，即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，sinC＝3sinA，因此sinCsinA＝3.七、创新与思考同学们在对正弦定理的探索与研究中得到sinCcsinBbsinAa=2R（R为△ABC外接圆的半径）.利用该结论，解决以下问题：现有一个破损的圆块，如图，只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请你设计一种方案，求出这个圆块的直径.解析：(1)作破损圆块的内接△ABC；第9页(2)用量角器量出角A；(3)用直尺量出a；(4)由正弦定理可求出直径：2R=sinAa.