周长最小值专题(完整版-师用)

周长最小值专题（完整版师用）A.线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？求线段和最小值的一般步骤：①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。基本解法::利用对称性,将“折”转“直”基础训练1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为A.1B.C.D.2试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即2.如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。图4分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，图5图6由∠BAD=60°，AB=AD，AE=BE知，3223DE故PE+PB的最小值为3。2.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为___。P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小；作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B，连接OA、OA′、OB，B.三角形周长最小值1.福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．分析：点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2，根据轴对称性易知：OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=90°，因而P1P2=102，故△PQR周长的最小值为102．2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式。（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大?若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。P2P1OABPRQO图43.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，∴B.四边形周长最小值基本模型（一）定长不动：做双对称思路与方法1）总有两个已知点，即一条边是定值。2）分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。1.在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C（m，0）D（0，n）,当四边形的周长最短时,m/n的值为_________.2.在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m+n=_________